6.2. Коэффициенты ошибок

Метод коэффициента ошибок может применяться как для нахождения ошибок системы по задающему воздействию x(t), так и для нахождения ошибки системы по возмущающему воздействию f(t). Так как методика нахождения коэффициентов ошибок в обоих случаях одинакова, рассмотрим только коэффициенты ошибок для задающего воздействия.

Пусть x(t) имеет произвольную форму, но представляет собой медленно меняющуюся функцию в том смысле, что отличным от нуля является конечное число ее производных:

а все производные высшего порядка равны нулю. Полагаем, что при .

Разложим передаточную функцию ошибки E(p) в ряд Маклорена:

(6.6)

где

Подставив формулу (6.6) в (6.1), получим

(6.7)

Так как входное воздействие x(t) имеет производные, отличные от нуля только до порядка m включительно, то обратное преобразование выражения (6.7) имеет вид

(6.8)

По формуле (6.8), зная вид входного воздействия x(t) и коэффициенты , легко определить динамическую ошибку.

Коэффициенты разложения (6.6) называются коэффициентами ошибок и в общем случае определяются по формуле

(6.9)

Однако, учитывая, что передаточные функции

(6.10)

(6.11)

представляют собой дробно-рациональные функции, коэффициенты ошибок можно более просто определить делением полинома числителя на полином знаменателя передаточной функции до получения в частном старшего коэффициента ошибки.

6.3. Структурные признаки астатизма

Величина ошибки системы в установившемся режиме для некоторого заданного воздействия полностью определяется передаточными функциями (6.10) и (6.11), которые выражаются через передаточные функции разомкнутой системы.

Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде

(6.12)

Тогда при получим передаточную функцию системы по ошибке

(6.13)

Определим коэффициенты ошибок. Полагая получим

(6.14)

т.е. при система является статической.

Если , то

(6.15)

Следовательно, система астатическая, а так как в нуль обращается только первый коэффициент ошибки, то система называется астатической первого порядка. Это означает, что система не имеет ошибки только при постоянном входном воздействии. Если же на вход системы подать сигнал, изменяющийся по линейному закону то астатическая система первого порядка будет иметь динамическую ошибку

Отсюда следует, что ошибка будет тем меньше, чем больше коэффициент усиления разомкнутой системы.

Полагая , получим

(6.16)

Данная система имеет уже два коэффициента ошибки, равных нулю, и является астатической второго порядка. Это означает, что система не имеет ошибки в установившемся режиме при постоянном и линейном законах изменения входного воздействия. Если же на вход системы подать сигнал, изменяющийся равноускоренно

то система будет иметь динамическую ошибку

Аналогично можно получить коэффициенты ошибок для систем, имеющих и т.д., у которых в нуль обращаются соответственно 3, 4 и т.д. коэффициентов ошибок. Такие системы имеют порядок астатизма, равный величине . Это и есть структурный признак астатизма автоматической системы по виду ее передаточной функции в разомкнутом состоянии.

Если рассматривать передаточную функцию замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью, то в соответствии с формулой (6.12)

. (6.17)

Сравнивая коэффициенты полиномов передаточной функции (6.17) в числителе

и знаменателе

можно сделать вывод, что они совпадают до степени, равной ( включительно. Это означает, что у статической системы все коэффициенты различны. У астатической системы первого порядка , но и т.д. При астатизме второго порядка и т.д. Аналогично определяется порядок астатизма для астатических систем более высокого порядка.

Из формулы (6.12) видно, что величина определяет количество интегрирующих звеньев рассматриваемой АС. Следовательно, точность отработки медленно меняющихся входных воздействий можно увеличивать включением в систему интеграторов. Однако каждое интегрирующее звено увеличивает наклон ЛАХ разомкнутой системы на -20дБ/дек и вносит дополнительное запаздывание по фазе на - , что приводит к уменьшению закона устойчивости АС. Это свидетельствует о том, что стремление одновременно повысить точность системы и обеспечить хороший запас ее устойчивости носит диалектический противоречивый характер.

Полученные результаты одинаково справедливы как при анализе задающих, так и возмущающих, медленно меняющихся воздействий.