2.3 Передавальні функції

Найбільш розповсюдженим методом описування і аналізу автоматичних систем є операційний. В основі методу лежить перетворення Лапласа

, (2.36)

яке встановлює відповідність між функціями дійсної змінної t і функціями комплексної змінної р. Функцію часу , яка входить в інтеграл Лапласа (2.36), називають оригіналом, а результат інтегрування – функцію – називають зображенням функції за Лапласом.

Перетворення Лапласа виконується лише для таких функцій часу, котрі рівні нулю при . Ця умова забезпечується, зазвичай, множенням функції на одиничну ступінчасту функцію . З математичної і фізичної точок зору такий штучний прийом повністю конкретний, так як функції описують процеси в автоматичних системах, які починаються з деякого моменту часу, а цей момент часу завжди може бути прийнятий за початок відліку.

В табл. 2.1 показані зображення простих функцій часу, які найчастіше використовуються в розрахунках автоматичних систем.

Таблиця 2.1 – Зображення простих функцій часу

Назва функції	x(t)	X(p)
Дельта-функція		1
Ступінчаста функція
Степенева функція
Експонента
Синусоїда
Косинусоїда

Основні властивості перетворення Лапласа показані в таблиці 2.2. Кожну з цих властивостей використовують при аналізі автоматичних систем операційним методом.

Найбільш важливими властивостями перетворення Лапласа є властивості, які формулюються, зазвичай, у вигляді правил: при нульових початкових умовах диференціювання оригіналу за змінною t відповідає множенню зображення на комплексну змінну р, а інтегрування оригіналу – діленню на р. Так, на цих двох властивостях оснований операційний метод розв’язку диференціальних рівнянь. Метод полягає в наступному. Вихідне диференціальне (або інтегродиференціальне) рівняння замінюють на алгебраїчне рівняння відносно зображення . Отже, замінюють на (цю процедуру називають алгебраїзацією диференціального рівняння), потім, розв’язуючи алгебраїчне рівняння при заданому , знаходять зображення і, накінець, за зображенням визначають функцію . Зворотний перехід від зображення до оригіналів в більшості практичних задач можна зробити за допомогою таблиць, які знаходяться в спеціальних довідниках з операційного обчислення.

Таблиця 2.2 – Основні властивості перетворення Лапласа

Назва	Оригінал	Зображення
Лінійність
Правило диференціювання (при нульових початкових умовах)
Правило інтегрування (при нульових початкових умовах)
Зміна масштабу часу (теорема подібності)
Зміщення аргументу оригіналу (теорема запізнення)
Зміщення аргументу зображення
Правило множення зображень (теорема згортки)
Теорема про початкове значення оригіналу
Теорема про значення оригіналу

Широке розповсюдження операційного методу в теорії автоматичного керування обумовленого ще й тим, що з його допомогою визначають так звану передавальну функцію, яка є найкомпактнішою формою описання динамічних властивостей елементів і систем.

Використаємо перетворення Лапласа до лінійного диференціального рівняння загального вигляду (2.1), припускаючи, що до подання зовнішньої дії система знаходилась в спокої, і що всі початкові умови рівні нулю. Використовуючи властивість лінійності і правило диференціювання (див. табл. 2.2) можна одержати алгебраїчне рівняння у вигляді:

, (2.37)

де

;

Порівнюючи рівняння (2.37) з рівнянням у символічній формі (2.3), можна помітити повну аналогію їх структур. Різниця рівнянь лише в значенні символа р: в першому рівнянні він означає операцію диференціювання, в другому – комплексну змінну.

Введемо тепер поняття передавальної функції. Передавальною функцією W(p) називають відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах

. (2.38)

Для системи, яка описується рівнянням (2.1), передавальна функція рівна відношенню вхідного оператора до власного оператора

. (2.39)

З виразу (2.39) видно, що передавальна функція не залежить від виду вхідної дії і характеризує лише власні динамічні властивості елемента або системи.

Розглянемо тепер основні властивості і особливості, якими володіють передавальні функції автоматичних систем і їх елементів.

Передавальна функція встановлює зв’язок між вхідною і вихідною величиною як в динамічному, так і в статичному режимах.

Передавальна функція дійсних елементів являє собою правильний раціональний дріб, в якому степінь полінома, що знаходиться в чисельнику, менший або дорівнює степеню полінома знаменника . Всі коефіцієнти передавальної функції – дійсні числа, що характеризують параметри елемента.

Передавальна функція є функцією комплексної змінної , яка може при деяких значеннях змінної р перетворюватись в нуль або нескінченність. Значення змінної р, при якому функція перетворюється в нуль, називають нулем, а значення, при якому перетворюється в нескінченність – полюсом передавальної функції. Очевидно, що нулями передавальної функції є корені полінома , а полюсами – корені полінома . Корені поліномів чисельника і знаменника можуть бути комплексними, уявними і речовими числами (в тому числі і нульовими). Якщо ці корені відомі, то передавальна функція може бути представлена в такому вигляді

, (2.40)

де – корені многочлена (нулі ); – корені многочлена (полюси ).

Таким чином, кожній конкретній передавальній функції з заданими коефіцієнтами відповідає визначеність сполучення нулів і полюсів. За розподіленням нулів і полюсів передавальної функції і комплексної площини з координатами  і  можна судити про властивості елемента або системи.

Якщо поліноми і мають один або декілька нульових коренів, то передавальну функцію вигідно записувати в такій формі, щоб ці полюси і нулі були виділені в явному вигляді. Так, якщо передавальна функція має в точці полюс кратності v, то таку передавальну функцію можна записати у вигляді

, (2.41)

де при .

Передавальна функція (2.40) має полюси в точці , коли один або декілька менших коефіцієнтів многочлена рівні нулю: , ( ). Таку передавальну функцію можна представити у вигляді

, (2.42)

або після перетворень

, (2.43)

де при ; при ; .

Величину v називають порядком астатизму. Коефіцієнт k має розмірність

(2.44)

і з деякою умовою може бути названий передавальним коефіцієнтом. Умова полягає в тому, що поняття передавального коефіцієнта було введено як характеристика статичного режиму, а в елементах з статичного режиму роботи не існує.

Якщо , то елемент називається статичним, а його передавальна функція при рівна передавальному коефіцієнту

. (2.45)

Передавальна функція елемента пов’язана з його імпульсною перехідною функцією перетворення Лапласа

. (2.46)

У справедливості виразу (2.46) можна впевнитися, якщо врахувати, що функція характеризує зміну вихідної величини при і що зображення дельта-функції рівна 1.