2.2 Перехідні функції

Диференціальне рівняння є найзагальнішою формою описування елемента і не дає уяви про передавальні властивості елемента. Уяву про ці властивості дає функція , яка є розв’язком диференціального рівняння. Але одне і те ж диференціальне рівняння може мати, як відомо, декілька розв’яз-ків, конкретний вигляд яких залежить від початкової умови і від характеру функції , від початкового стану елемента і від виду внутрішньої дії. Тому прийнято динамічні властивості елементів і систем характеризувати розв’язком, відповідним нульовим початковим умовам (елемент знаходиться в статичному режимі) і одній з типових дій. Як типові дії приймають одиничну ступінчасту дельта-функцію або гармонічну функцію.

Найбільш уявлення про динамічні властивості елемента дає його перехідна функція (характеристика). Перехідною функцією називають зміну вихідної величини в часі, яка виникає після подання на вхід одиничної ступінчастої дії при нульових початкових умовах. Перехідна функція може бути задана у вигляді графіка (рис. 2.2, а) або у формульному вигляді. Формульний вираз функції для конкретного елемента можна знайти, розв’язуючи його диференціальне рівняння при і при Друга умова означає, що вихідна величина у і її похідні до ( )-го порядку безпосередньо перед подачею ступінчастої дії дорівнюють нулю.

Рисунок 2.2 – Перехідна (а) та імпульсна перехідна (б) функції

Перехідна функція , як і будь-який розв’язок неоднорідного диференціального рівняння вигляду (2.1), має складові: вимушену і вільну . Вимушена складова перехідного процесу, є , як відомо, власним розв’язком вихідного рівняння. При ступінчастій дії вимушена складова рівна встановленому значенню вихідної величини, котре може бути визначене безпосередньо з диференціального рівняння (при )

(2.22)

Вільна складова може бути знайдена як розв’язок відповідного диференційного рівняння в наступному вигляді:

(2.23)

де – корені характеристичного рівняння; – постійні інтегрування, котрі залежать від початкових умов.

Характеристичне рівняння, яке відповідає диференціальному рівнянню, являє собою, як відомо, алгебраїчне рівняння, степінь і коефіцієнти якого співпадають з порядком і коефіцієнтами лівої частини цього диференціального рівняння. Для диференціального рівняння, записаного у формі (2.1), характеристичне рівняння має вигляд

. (2.24)

Структура характеристичного рівняння (2.24) співпадає з структурою лівої частини диференціального рівняння, записаного в символічній формі (2.3) і з структурою власного (характеристичного) оператора D(p) (2.4). Тому при записі характеристичного рівняння часто замість символу , котрий означає невідому заміну алгебраїчного рівняння, використовують символ р. Але при цьому р означає вже не операцію диференціювання, а деяке комплексне число, яке є розв’язком (коренем) характеристичного рівняння.

Для лінійних елементів і систем, крім принципу суперпозиції, справедливе ще одне загальне правило: реакція на неодиничну ступінчасту дію рівна похідній перехідної функції на величину множника а, . Ця властивість широко використовується при дослідженні і розрахунку лінійних систем.

Імпульсною перехідною функцією називають зміну вхідної величини , яка виникає після надання на вхід дельта-функції, при нульових початкових умовах (рис. 2.2, б).

Якщо вхідна дія являє собою неодиничний імпульс , ординати функції вихідної величини будуть в а разів більші ординат функції , .

Імпульсна перехідна функція рівна похідній від перехідної функції

, (2.25)

і навпаки, перехідна функція рівна інтегралу від імпульсної перехідної

. (2.26)

За допомогою імпульсної системи перехідної функції елемента можна визначити його реакцію на вхідну дію вільного виду. Зв’язок між зміною вхідної і вихідної величин в часі встановлюється інтегралом Дюамеля, або інтегралом згортки

. (2.27)

Так як при вхідна дія , а при функція (умова фізичного виконання), то межі інтегрування у (2.27) можна вважати нескінченними

. (2.28)

Перехідні характеристики і називають також часовими.

Приклад 1. Знайдемо перехідну функцію елемента, який описується рівнянням

. (2.29)

Перехідна функція має дві складові

(2.30)

Вимушена складова згідно з (5.9) в даному випадку рівна

. (2.31)

Вільну складову будемо шукати у вигляді

(2.32)

Враховуючи початкову умову , одержимо Тоді

. (2.33)

Приклад 2. Визначимо за допомогою інтеграла Дюамеля реакцію елемента (2.29) на дію вигляду

Імпульсна перехідна функція елемента згідно з (2.25)

. (2.34)

Функцію , яка описує зміну вихідної величини після надання лінійної дії, одержимо, підставляючи вираз (2.34) в інтеграл (2.27)

(2.35)