4.14 Помилки від задаючих впливів

Отримаємо формулу для вираховування помилки від задаючих впливів. Враховуючи рівність (4.30), а також формулу для передавальної функції помилки

,

отримаємо

(4.32)

де – передавальна функція розімкнутої системи.

При вираховуванні помилки за формулою (4.32) необхідно мати на увазі, що зображення за Лапласом типових впливів для відповідно рівні

Крім того, для статичних систем . Для астатичних систем 1-го і 2-го порядків приймемо відповідно і . При цьому , де k – коефіцієнт передачі розімкнутої системи; – передавальна функція без врахування інтегруючих ланок і коефіцієнта передачі.

Розглянемо тепер помилки деяких автоматичних систем. Як видно із табл. 3, статичні системи при ступінчастому впливі мають сталу помилку

, (4.33)

яка називається статичною, або помилкою за станом. Вона пропорційна величині заданого впливу і зменшується із збільшенням коефіцієнта передачі розімкнутої системи k. При змінних у часі впливах помилка безперервно зростає, тому ці системи як слідуючі використовувати недоцільно.

Астатичні системи 1-го порядку принципово точно відпрацьовують ступінчастий вплив, але мають постійну помилку при відпрацюванні лінійно зростаючого сигналу (табл. 4.2). Це помилка

(4.34)

пропорційна швидкості v зміни вхідного сигналу, тому її називають швидкісною помилкою, а коефіцієнт передачі розімкненої системи k – добротністю системи за швидкістю. Відсутність статичної помилки пояснюється наявністю в одноланцюговій структурній схемі системи інтегруючої ланки.

Астатичні системи 2-го порядку принципово точно відпрацьовують як ступінчастий, так і лінійно зростаючий сигнал. При відпрацюванні квадратичного сигналу має місце помилка

(4.35)

пропорційна прискоренню а вхідного сигналу і обернено пропорційна коефіцієнту посилення розімкненої системи k, який називається добротністю системи за прискоренням.

Отже, із збільшенням коефіцієнта передачі розімкненої системи сталі помилки зменшуються. Але, як уже було сказано, із збільшенням k погіршується стійкість автоматичних систем. Таким чином, вимога до точності заперечує потребу до стійкості. Отже, при виборі величини k повинно бути прийняте компромісне рішення. Забігаючи наперед, зазначимо, що покращання стійкості при заданому відносно великому значенні k досягається шляхом включення до системи коректуючих пристроїв.

Відзначаючи вплив порядку астатизму системи v на точність, констатуємо, що чим більша v, тим точніше система відпрацьовує більш складний вплив. Однак ці системи більш схильні до коливань в перехідних процесах, їх стійкість погіршується. Тому системи з порядком астатизму більше двох на практиці майже не зустрічаються.

4.15 Коефіцієнти помилки

Якщо заданий вплив є функцією часу, що повільно змінюється, то динамічну помилку можна вирахувати за допомогою так званих коефіцієнтів помилки.

Передавальну функцію помилки можна запропонувати у вигляді ряду

(4.36)

Тоді

(4.37)

або в оригіналах

(4.38)

Таким чином, динамічна помилка системи складається із суми доданків пропорційних вхідному сигналу, його швидкості, прискоренню і т. д. , тому коефіцієнти називають коефіцієнтами помилки відповідно за станом, за швидкістю, за прискоренням і т. д.

Чим повільніше змішається вхідний сигнал, тим менше потрібно брати членів ряду в формулі (4.38).

Відомі декілька прийомів вирахування коефіцієнтів помилки. Найпростіше це зробити, розклавши передавальну функцію помилки в степеневий ряд шляхом ділення її чисельника на знаменник.

Слід відзначити, що порядок астатизму визначається кількістю перших коефіцієнтів помилки, рівних нулю. Так, для статичних систем ( ) ні один з коефіцієнтів не дорівнює нулю, для статичних систем першого порядку , а для статичних систем другого порядку і .