4.13 Розрахунок сталої помилки автоматичної системи

Теорія автоматичного керування розглядає автоматичні системи в інформаційному плані, тобто з точки зору передачі і перетворення сигналів. Тому цілком природно виникає питання: з якою точністю передаються ці сигнали? Стосовно до цього, нас цікавить точність відтворення заданого впливу, тобто, з якою точністю виконується основна умова . Крім того, необхідно визначити помилку, викликану збудженням . Помилка системи від заданого впливу

,

а від збудження

,

тобто, помилка системи від збудження чисельно рівна зміні регульованої величини під впливом цього збудження (при відсутності заданого впливу).

За наявності перехідних процесів поточне значення помилки різко змінюється і не може служити мірою точності автоматичних систем. Тому домовились точність автоматичних систем оцінювати величиною сталої помилки, яка має місце в стійкій системі після закінчення перехідного процесу.

Отже, нам необхідно встановити, по-перше, як вираховуються сталі помилки і, по-друге, які фактори впливають на ці помилки. Обидва завдання будемо вирішувати паралельно. Попередньо зауважимо, що стала помилки вираховується для значення часу , тобто

.

Величину сталої помилки можна знайти із диференціального рівняння системи, але її значно зручніше вираховувати за допомогою передавальної функції помилки . Отже,

.

Дана формула дозволяє знайти зображення помилки. Для того, щоб знайти помилку як функцію часу, необхідно зробити зворотне перетворення Лапласа

,

звідки можна визначити сталу помилку прийнявши .

Та даний спосіб вираховування нераціональний, оскільки ми спочатку знаходимо помилку як функцію часу, а потім вираховуємо її значення для однієї тільки точки . А чи не можна відразу за відомим зображенням знайти , обійшовши проміжний етап визначення ? Виявляється, можна і до того ж досить просто. Для цього використаємо теорему операційного числення про кінцеве значення функції. Ця теорема свідчить про те, що, якщо відоме зображення функції , то кінцеве значення можна вирахувати за формулою

.

Використавши дану формулу для вирішення нашого завдання, отримуємо

. (4.30)

Формула (4.30) дозволяє вирахувати сталу помилку, що встановилася за заданим впливом . Для вилучення сталої помилки, що встановилася від збурення , треба користуватись залежністю

, (4.31)

де – передавальна функція за збуренням.

Таким чином, з формул (4.30) і (4.31) випливає, що наявність автоматичних систем залежить, по-перше, від зовнішнього впливу або і, по-друге, від властивостей автоматичної системи, що відтворюються передавальною функцією або .

В загальному випадку як заданий, так і збуджений впливи є складними функціями часу, при яких вирахування помилок значно ускладнюється і навіть є неможливим. Як же вийти з цього становища? Замінимо реальні впливи типовими, тобто достатньо простими для того, щоб можна було визначити помилки. По-перше, зовнішні впливи деяких систем близькі до типових, і по-друге, при проектуванні автоматичних систем необхідно порівнювати між собою різні варіанти і вибрати кращий.

Це зручно зробити при типових впливах, коли використовують ступінчасту , лінійну і квадратичну функції. Можна використовувати і більш складні впливи.

Всі ці впливи легко зобразити за допомогою формул, їх значення можна точно вирахувати для будь-якого моменту часу. Однак зовнішні впливи часто є випадковими функціями часу. В такому випадку для оцінки точності автоматичних систем використовують статичні методи.