4.8 Запас стійкості автоматичної системи

Запас стійкості – це кількісна оцінка відстані значень параметрів системи або її характеристик від зони, небезпечної з точки зору стійкості. Запас стійкості по параметрах характеризує відстань граничної кривої, яка визначає область вирішених значень параметрів, від межі області стійкості. На рис. 4.8 запас стійкості по параметрах Т і К позначений через h.

Запас стійкості за критерієм Михайлова дорівнює радіусу кола r, в яке не повинна заходити крива Михайлова (рис. 4.9). Центром кола є “небезпечна” точка при використанні критерію Михайлова, тобто початок координат площини F.

При використанні критерію Найквіста-Михайлова “не-безпечною” точкою є точка з координатами . Оцінка запасу стійкості, виходячи з цього критерію, проводиться за амплітудою і за фазою.

Рисунок 4.8 – Запас стійкості по параметрах Т і К

Рисунок 4.9 – Запас стійкості при використанні критерію Михайлова

Запас стійкості по амплітуді А (рис. 4.10, а) дорівнює відстані від точки перетину АФЧХ розімкненої системи дійсної осі до точки , а запас по фазі ₁ (рис. 4.10, а) – куту між дійсною віссю і вектором, проведеним з початку координат в точку перетину АФЧХ з колом одиничного радіуса.

Рисунок 4.10 – До визначення запасу стійкості за фазою і за амплітудою за допомогою АФЧХ (а) та ЛАЧХ і ФЧХ (б) розімкненої системи

При оцінці стійкості за логарифмічними частотними характеристиками запас стійкості по амплітуді визначаєтся як ордината ЛАЧХ при фазі і вимірюється в децибелах. Запас стійкості по фазі визначається за фазовою частотною характеристикою при частоті зрізу , тобто при частоті перетину ЛАЧХ осі частот. В цій точці значення ЛАЧХ рівне нулю, так як модуль АФЧХ в цій точці дорівнює одиниці.

На рис. 4.10, б запас по амплітуді виражений в логарифмічному масштабі. Чи більше за абсолютною величиною , тим дальше від точки –1 перетинає АФЧХ стійкої системи дійсну вісь і, отже, тим більша величина А (рис. 4.10, а). Звідси випливає, що запаси по амплітудах А і однаково характеризують розміщення АФЧХ розімкненої системи при фазі –, тільки вимірюються вони в різних масштабах.

У випадку, коли побудовані межі області стійкості в площині параметрів системи, запас стійкості слід виразити як деяке умовне поширення h від цих меж (рис. 4.8). Найчастіше ці нові межі проводять еквідистантно (на однаковій відстані) від теоретично розрахованої межі стійкості. Ступінь видалення гарантованої області стійкості від розрахованої називають запасом стійкості за параметром, на відміну від попередніх випадків, де розглядався запас стійкості за показником вибраного критерію. Незалежно від прийнятої форми запас стійкості є кількісною характеристикою, і використання його при розрахунках є гарантією стійкості системи в реальних умовах.

Висновки. Дослідження стійкості є одним з перших етапів оцінки систем автоматичного управління при їх аналізі. Проводячи аналіз або синтез автоматичної системи, необхідно впевнитись в тому, що система структурно стійка.

Якщо розв’язується задача аналізу, то оцінка стійкості проводиться за допомогою одного з розглянутих критеріїв. За наявності диференціального рівняння замкнутої системи потрібно використовувати алгебраїчні або графоаналітичні критерії стійкості: при третьому порядку рівняння – критерій Вишнеградського, при четвертому і п’ятому – критерій Гурвіца, а при більш високому порядку – критерій Михайлова. За наявності частотних характеристик оцінку стійкості потрібно проводити за допомогою частотних критеріїв. Якщо розв’я-зується задача синтезу, виходячи з умов стійкості, і при цьому визначається значення параметрів системи, то потрібно використати алгебраїчні критерії або критерії Михайлова і попередньо побудувати межі області стійкості в площині варійованих параметрів.

На практиці вибір прикладів систем переважно проводять, виходячи не тільки з умов стійкості, але й з умов забезпечення потрібної якості перехідного процесу. В цьому випадку ефективними є логарифмічні частотні характеристики систем.