4.3 Алгебраїчні критерії стійкості

Перший алгебраїчний критерій, який можна використовувати для системи 3-го порядку, був сформульований І.А.Ви-шнеградським в 1876 р.:

для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням

необхідне виконання двох умов:

1. всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними;

2. похідна середніх коефіцієнтів повинна бути більша від похідної крайніх

.

В коефіцієнти рівнянь входять лише значення параметрів системи, тому стійкість останньої визначається тільки параметрами і не залежить від їх стану.

Для визначення систем будь-якого типу порядку використовують критерії Гурвіца та Рауса. Критерій Гурвіца більш простіший, тому його використовують частіше. Він формулюється так:

Система з характеристичним рівнянням

буде стійкою, якщо визначник і всі його діагональні мінори додатні:

.

При складанні визначника Гурвіца спочатку по діагоналі розміщують коефіцієнти, починаючи з до :

. (4.8)

Потім визначник заповнюють по стовпцях: вище діагональних коефіцієнтів записуються коефіцієнти із індексами, що зменшуються, а нижче – із зростаючими. При досягненні нульового або n-го індексу далі ставляться нулі.

Кожен діагональний мінор визначника Гурвіца отримують з попереднього мінору шляхом викреслювання нижнього рядка і правого стовпчика. Мінор отримують з визначника Гурвіца за загальним правилом, тобто шляхом викреслювання з нижнього рядка і правого стовпчика. Нижчий діагональний мінор Гурвіца .

Як приклад використаємо критерій Гурвіца для визначення стійкості системи з характеристичним рівнянням

.

Складемо визначник Гурвіца і його діагональні мінори

Звідси видно, що визначник Гурвіца і його діагональні мінори додатні. Отже, система, що досліджується, стійка.

Позитивною ознакою алгебраїчних критеріїв є простота використання, а недоліком – те, що вони не дозволяють оцінити вплив на стійкість системи параметрів окремих її елементів. Цього недоліку можна позбутися за допомогою графоаналітичного критерію А.В.Михайлова.

4.4 Графо-аналітичний критерій Михайлова

Представимо ліву частину рівняння

у вигляді функції від р

.

Зробивши заміну , отримаємо рівняння комплексного вектора

,

кінець якого при зміні  від 0 до  опише деяку криву – криву Михайлова. На рис. 4.1 показані криві Михайлова для систем 6-го порядку.

а – стійка система; б – система, що знаходиться на межі стійкості Рисунок 4.1 – Криві Михайлова для систем шостого порядку

Розглянемо основні властивості кривої Михайлова. Крива Михайлова починається на дійсній осі при в точці і закінчується в n-ому квадранті (при ), якщо відлік квадрантів вести проти годинникової стрілки (n – порядок характеристичного рівняння). В n-ому квадранті крива Михайлова йде в нескінченність.

Щоб побудувати криву Михайлова, необхідно в функції замінити p на і розділити дійсну і уявну частини

.

Далі, задаючись різними значеннями необхідно знайти точки , , , ... За цими точками будують на комплексній площині криву Михайлова. Згідно з критерієм Михайлова лінійна система n-го порядку буде стійкою, якщо крива Михайлова охоплює початок координат і послідовно проходить n квадрантів.

Якщо крива Михайлова проходить через початок координат, то система може знаходитись на межі стійкості або бути нестійкою. Першому випадку відповідає така крива, яка при найменшій деформації в околі початку координат буде відповідати стійкій або нестійкій системі, а другому випадку – якщо деформація не призведе її до виду, який відповідає стійкій системі. На рис. 4.1 деформовані криві Михайлова показані пунктиром. Отже, для оцінки стійкості системи за допомогою критерію Михайлова важливо встановити розміщення кривої Михайлова, відносно початку координат.

Щоби за допомогою критерію Михайлова оцінити вплив зміни параметрів елементів системи на її стійкість, необхідно побудувати криву Михайлова при даному значенні параметра. Нехай, наприклад, вийшло так, що система знаходиться на межі стійкості (рис. 4.1, в). Потім слід змінити цей параметр, наприклад, збільшити і побудувати криву Михайлова для цього випадку (рис. 4.1, в, крива 1). З побудови випливає, що збільшення параметра, який нас цікавить, в зоні початкового його значення допомагає стійкості системи.