2. Определение о

Выше была введена величина _о (1.8), полученная при рассмотрении потенциала обтекания эллипсоида безграничным потоком (смотри, например, [3]), который на поверхности эллипсоида имеет вид:

(2.1)

Заметим, что именно это свойство эллипсоида позволяет существенно упростить функцию Кочина и получить выражение для коэффициента волнового сопротивления в довольно простом виде:

(2.2)

Из рассмотрения выражений (2.1) и (2.2) видно, что предельный переход возможен при . Это значение _о справедливо для сферы. Его также можно получить непосредственно из выражения (1.8), считая . Это один из случаев, когда _о можно вычислить аналитически. Ниже будут рассмотрены другие подобные случаи.

2.1 Определение о для эллипсоида вращения

2.1.1 Эллипсоид вращения с осью, направленной вдоль оси Ох

В этом случае . Введем новые обозначения:

, , , (2.3)

При получаем вытянутый эллипсоид, при - "сплюснутый". Формулы для определения _о при и будут различными.

Если ,то _о будет выглядеть так:

В зависимости от  можно получить следующие выражения:

Вводя подстановку , после ряда несложных преобразований получим:

В итоге, с учетом сделанных обозначений (2.3), получим для эллипсоида с осью вращения, направленной вдоль оси Ох:

Исследование полученных выражений показывает, что . Вид функции _о(₁) показан на рис. 2.

Рассмотрим свойства полученных выражений:

1. При приближении к сфере, то есть ₁0 , 0, 0, обе формулы дают значения, стремящиеся к (случай _о для сферы), но применять их при =1 нельзя.

Рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций (2.4) и (2.5) вблизи точки, где ₁1, = 0. Ограничиваясь двумя членами в разложении, имеем:

Таким образом, _о можно рассматривать как непрерывную функцию

2. При ₁ , 1,  ₁ _о, как видно из (2.4), стремится к нулю, то есть при ₁  , _о  0 ("нить", расположенная параллельно потоку).

3. При  0,  1, _о, как видно из (2.5), стремится к двум, то есть при ₁0, _о2 (диск, расположенный перпендикулярно потоку)



_о

Рис. 2 _о(₁) для эллипсоида с осью вращения,

направленной вдоль оси Ox

2.1.2 Эллипсоид вращения с осью, идущей вдоль оси Оу или Оz

Действительно, из (1.8) видно, что _о при рассмотрении эллипсоида с осью вращения, направленной вдоль оси Oy или Oz отличается лишь обозначениями. Поэтому будут рассмотрен случай для эллипсоида с осью вращения, направленной вдоль оси Oy. При этом . Введем обозначения:

, , , (2.6)

Решения для и в этом случае также будут различными.

При введении подстановки , получаем:

Анализ полученных выражений показывает, что . Вид функции _о(₂) для эллипсоида вращения с осью вращения, идущей вдоль оси Oy показан на рис. 3. Рассмотрим свойства полученных выражений:

1. При приближении к сфере (₂ 1, 0,  0) обе формулы дают значения, близкие к (сфера), но применять их напрямую при ₂=1 нельзя. Рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций (2.7) и (2.8) при ₂ 1, 1. Ограничиваясь двумя членами в разложении, получаем: Таким образом и этом случае _о можно рассматривать как непрерывную функцию, и для эллипсоида с осью вращения, направленной по оси Ox.

2. При  , 1,  ₂ _о, как видно из (2.7), стремится к единице, то есть при ₂, _о1 (горизонтальная "нить", расположенная перпендикулярно потоку)

3. При ₂0,  1, _о, как видно из (2.8), стремится к нулю, то есть при ₂0, _о0 (диск, расположенный параллельно потоку)



_о

Рис. 3

2.2 Определение _о в общем случае

В общем случае трехосного эллипсоида _о можно определить по формуле (1.8) численным интегрированием. Определенные трудности возникают в связи с необходимостью брать несобственный интеграл. Однако при этом интеграл (1.8) сходится при любых , так как показатель степени подынтегрального выражения в знаменателе .

С учетом принятых обозначений, выражение (1.8) запишется через заданные величины. Так, например. Считая заданным:

(2.9)

Если же заданы , где r – радиус эллипсоида вращения того же объема и той же длины (то есть ), тогда:

(2.10)