3. Основные аксиомы и законы булевой алгебры.

Математический аппарат, описывающий действия дискретных и цифровых устройств, базируется на алгебре логики или булевой алгебре, названной по имени её основоположника Д. Буля.

Булева алгебра оперирует двоичными переменными, которые условно обозначаются как 1 и 0. В её основе лежит понятие переключательной или логической функции вида относительно аргументов , которая, как и её аргументы, может принимать только два значения – 0 или 1. В общем случае, если имеется n логических переменных, то они образуют 2ⁿ возможных логических наборов из 0 и 1. При n = 1: = 0 и = 1; при n = 2: = 00, 01, 10, 11 и т.д. Поскольку для каждого набора переменных функция у может принимать два значения, общее число булевых функций п аргументов равно . Таким образом, функций одного аргумента может быть четыре: (константа 1); у = 0 (константа 0).

Два аргумента дают 16 функций (таблица 10.2).

Таблица 10.2

Набор логических функций двух переменных

Аргументы					Функция	Название функции
Х1 Х2	0 0	0 1	1 0	1 1
	0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	у1 = 0 у2 = х1 х2 у4 = х1 у6 = х2 х1 х2 у16 = 1	Константа 0 Конъюнкция, операция И Запрет по х2 Тождественность х1 Запрет по х1 Тождественность х2 Исключающее ИЛИ, неравнозначность (сумма по модулю 2) Дизъюнкция, операция ИЛИ Операция ИЛИ – НЕ (стрелка Пирса) Равнозначность, эквива- лентность Инверсия х2, отрицание х2 Импликация от х2 к х1 Инверсия х1, отрицание х1 Импликация от х1 к х2 Операция И – НЕ (штрих Шеффера) Константа 1

Все возможные логические функции n переменных можно образовать с помощью трех основных операций: логическое отрицание (инверсия, операция НЕ), логическое умножение (конъюнкция, операция И) и логическое сложение (дизъюнкция, операция ИЛИ).

Операция отрицания над одной переменной характеризуется следующими свойствами: функция у = 1 при аргументе х = 0 и у = 0, если х = 1. Обозначается отрицание чертой над переменной: (игрек равен не икс). Соответственно .

Операция логического умножения для двух переменных характеризуется так: 0∙0 = 0; 0∙1 = 0; 1∙0 = 0; 1∙1 = 1, т.е. функция у = 1, если все аргументы равны 1.

Операцию логического сложения обозначают . Она означает, что: 0 0 = 0; 0 1 = 1; 1 0 = 1; 1 1 = 1, т.е. у = 1, если хотя бы один аргумент равен 1.

Конъюнкция и дизъюнкция могут выполняться над любым количеством переменных.

Логическая функция может быть задана словесно, алгебраическим выражением и таблицей истинности. Например, функцию , заданную в виде словесного описания: = 1, когда значения переменных , и = 0, когда , можно представить в виде таблицы истинности (таблица 10.3) или в алгебраической форме (см. таблицу 10.2). Для операций конъюнкции и дизъюнкции табличная форма задания имеет вид – таблица 10.4.

Таблица 10.3				Таблица 10.4
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1		0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1

Таблица истинности содержит все N = 2ⁿ возможные наборы значений переменных и значения функции, соответствующие каждому из наборов.

Чтобы осуществить переход от табличного представления к алгебраическому, каждому числовому набору переменных ставится в соответствие минтерм m_i. Минтерм (конституента единицы) – это конъюнкция всех переменных, причем те переменные, которые в наборе имеют значение 1, представляются в прямом виде, а те, которые имеют значение 0, − в инверсном. Тогда искомое алгебраическое выражение представляется в виде следующей логической суммы:

(10.4)

где − значение функции (0 или 1) и минтерм, соответствующие i-му числовому набору переменных. Такое представление функции называется её совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Например, требуется получить алгебраическую запись функции у₁₀, заданной таблицей 10.3. Для этого необходимо в соответствии с выше изложенной методикой составить минтермы (таблица 10.5) и воспользоваться выражением (10.4). Получится

Таблица 10.5