Лекция № 16.

Основы булевой алгебры.

Содержание

1. Системы счисления. 1

2. Двоичная арифметика. 4

3. Основные аксиомы и законы булевой алгебры. 7

4. Выполнение логических и арифметических операций. 11

Принципы схемотехники цифровых интегральных схем. 14

Рассмотрим первый вопрос лекции.

Системы счисления.

Всякое число представляется (кодируется) набором цифр в определенной системе счисления. Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, в которых каждая цифра выражает число не только своим значением, но и положением (позицией) среди других цифр. Основание системы − это число q, равное количеству разных цифр, необходимых для выражения всех чисел в пределах одного разряда. Положительное число из i разрядов в позиционной системе с основанием q может быть представлено как

(10.1)

где а – любая цифра от 0 до q – 1 включительно;

первый член представляет собой старший разряд числа, а последний − младший.

Кодированное в десятичной системе счисления число, например, 397, представляется как 397₁₀= 3∙10² + 9∙10¹ + 7∙10^о.

В цифровой технике нашли преимущественное применение элементы с двумя рабочими состояниями, одно из которых отождествляется с цифрой 1, а второе – с 0. Поэтому здесь распространено так называемое натуральное двоичное кодирование, при котором n- разрядное число выражается как

(10.2)

где может принимать значение 1 или 0. Например, число 13₁₀ при двоичном кодировании имеет вид 1101₂.

Наряду с этим находят применение и другие коды, позволяющие упростить арифметические действия. К ним относятся, в частности, обратный и дополнительный коды.

Двоичное число в обратном коде является инверсией прямого кода (все нули прямого кода числа заменяются единицами, а единицы – нулями). Дополнительный код образуется из обратного кода добавлением к нему 1. Так, десятичному числу 13 в обратном двоичном коде соответствует число 0010, а в дополнительном − 0011.

В таблице 1 приведены примеры записи чисел в двоичной, десятеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1.

2	10	16
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

Как видно из таблицы, в двоичной системе счисления каждое последующее число получается прибавлением единицы к младшему разряду, причем сумма нуля и единицы дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль и перенос единицы в старший разряд, где снова суммируется цифра разряда и перенесенная единица и т.д. Такая операция называется сумма по модулю два.

Широко применяется двоично-десятичный код, в котором цифры каждого разряда десятичного числа представляются четырехразрядным двоичным числом (тетрадой). Так, число А₁₀ = 397 в двоично-десятичном коде имеет вид А_{2 − 10} = 0011 1001 0111. Основное достоинство двоично-десятичного кода заключается в простоте взаимного перевода десятичных и двоичных чисел аппаратными средствами. Главный недостаток – громоздкость записи и избыточность, так как шесть двоичных комбинаций в каждой тетраде (от 1010₂ = 10₁₀ до 1111₂ = 15₁₀) не используются.

Последнего недостатка лишено двоично-шестнадцатеричное кодирование. Здесь все 16 двоичных комбинаций тетрад используются. Они соответствуют числам в шестнадцатеричной системе счисления, обозначаемым от 0 до 9 десятичными цифрами и от 10 до 15 буквами А, B, C, D, Е, F. Например, число 397₁₀ в шестнадцатеричном коде имеет вид 18D₁₆ (1∙16²+ 8∙16¹ + 13∙16^о), а в двоично-шестнадцатеричном – 0001 1000 1101_{2 − 16}. Как видно, здесь тетрады отображают числа 1, 8 и D шестнадцатеричной системы счисления, а в совокупности представляют собой обычный двоичный код.

Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q=10) выполняется по вышеприведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления числа а_i и q. Несколько сложнее перевести числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q10. Наиболее просто такая операция выполняется для q=2, 8, 16.

Пусть требуется перевести число (1993) в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание системы счисления q = 16.