Вариант 1

1. Производится два выстрела по мишени. Опишите для этого опыта струк-

туру пространства элементарных исходов (событий). Каким является собы-

тие, равное сумме приведенных Вами событий? Какими являются события,

равные пересечению любых двух событий из приведенных Вами.

2. Каждая из букв А, Г, Н, О, Р, Ы написана на одной из шести карточек, из

которых наудачу выбирают четыре. Какова вероятность того, что в результа-

те последовательного выбора наугад карточек получится слово “горы”?

3. Наугад указывается месяц и число некоторого невисокосного года. Какова

вероятность того, что это будет воскресенье, если всего в этом году 53 вос-

кресенья, а соответствие чисел дням недели неизвестно?

4. Пусть вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10

очков, равна 0,4; 9 – 0,2; 8 – 0,2; 7 – 0,1; 6 или меньше – 0,1. Найти вероят-

ность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее девяти очков.

5. Участковый врач обслуживает на дому троих больных. Вероятность того,

что в течение суток врач потребуется первому больному, равна 0,1; второму

– 0,5; третьему – 0,3. Найти вероятность того, что в течение некоторых суток:

а) ни один больной не вызовет врача; б) хотя бы один вызовет врача; в) толь-

ко один больной вызовет врача?

6. Три стрелка производят по одному выстрелу по мишени, вероятности по-

падания в которую равны для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для

третьего – 0,8. Найти вероятность двух попаданий в мишень.

7. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и две

коробки деталей, изготовленный заводом № 2. Вероятность того, что деталь

завода № 1 стандартна, равна 0,8, а для завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу

извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извле-

чена бракованная деталь.

8. Известно, что соответствуют требуемому стандарту 98 % электроламп, из-

готовленных заводом № 1, 96 % – заводом № 2, заводом № 3 и 95 % – заво-

дом № 4. В магазин поступило 150 ламп, изготовленных заводом № 1, 60 –

заводом № 2, 40 – заводом № 3 и 50 – заводом № 4. Здесь они оказались рас-

положенными в случайно образовавшемся порядке. Лампа, приобретенная

покупателем, оказалась нестандартной. Определить вероятность того, что она

изготовлена: а) на заводе № 1; б) на заводе № 2; в) на заводе № 3; г) на заводе

№ 4.

Терехов С.В., Гусар Г.А. Математический инструментарий для студентов

244

9. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гаран-

тийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийно-

го срока из шести телевизоров не более одного потребует ремонта.

10. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдёт 130, если

всхожесть семян оценивается вероятностью 0,73.

11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найти веро-

ятность 100 попаданий при 320 выстрелах.

12. Составить ряд распределения числа попаданий в мишень при четырёх вы-

стрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Пос-

троить график функции распределения, вычислить математическое ожида-

ние и дисперсию числа попаданий.

13. Дана функция (дописать)

A . При каком значение коэффициента

А функция f (x) может быть принята за плотность вероятности случайной

величины X? При этом значении А найти интегральную функцию, матема-

тическое ожидание и дисперсию величины X, вычислить P(1≤X ≤3) .

14. Случайная величина X имеет функцию распределения(из решетки перепишите функцию )

Найти: а) дифференциальную функцию распределения f (x) ; б) построить её

график; в) построить график функции F(x) ; г) вычислить P(0,5 ≤x ≤2,5) .

15. Случайная величина X распределена по нормальному закону со средним

квадратическим отклонением = 0,8. Найти вероятность того, что отклоне-

ние случайной величины от её математического ожидания по абсолютной ве-

личине будет меньше 0,3.

XI. Теория вероятностей

Вариант 2

1. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Ai (i 1, 2, 3,4,5) заключается в

том, что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, зак-

лючающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) не более

одной детали имеет дефект.

2. Подлежит контролю 260 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова ве-

роятность того, что из 2-х наудачу взятых деталей одна окажется нестандар-

тной?

3. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность следу-

ющих событий: а) сумма выпавших очков равна 8; б) произведение выпав-

ших очков равно 8.

4. В лотерее 100 билетов: среди них один выигрыш в 50 рублей, 3 – по 25

рублей, 6 – по 10 рублей, 15 – по 3 рубля. Некто покупает один билет. Найти

вероятность какого-нибудь выигрыша.

5. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка стана, равна

0,03. Какова вероятность того, что в течение четырёх дней подряд не прои-

зойдёт ни одной поломки?

6. Два стрелка А и В по очереди стреляют в одну мишень. Вероятность попа-

дания при каждом выстреле равна 0,25. Каждый стрелок имеет право произ-

вести два выстрела, однако стрельба прекращается, когда кто-нибудь из них

попадет в мишень. Определить вероятность поражения мишени первым и

вторым стрелком в отдельности.

7. На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя цеха-

ми фабрики, причем 20 % пряжи составляет продукция цеха № 2, а остальная

продукция – цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90%, а цеха № 2 – 70%

пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался перво-

го сорта. Определить вероятность того, что этот моток является: а) продукци-

ей цеха № 1; б) продукцией цеха № 2.

8. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В, двум – ти-

па С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В – 0,1; типа С

– 0,15. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле, если не-

известно, в мишень какого типа он будет произведён.

Терехов С.В., Гусар Г.А. Математический инструментарий для студентов

246

9. В урне 30 шаров: 20 белых, 10 чёрных. Вынули подряд четыре шара, при-

чём каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующе-

го. Какова вероятность того, что среди вынутых четырёх шаров будет два бе-

лых?

10. Найти вероятность того, что среди 200 человек окажется четверо левшей,

если в среднем левши составляют 1 %.

11. В некоторой стране 5 % жителей болеют туберкулёзом. Определить, чему

равна вероятность того, что из 1000 человек окажутся больными не менее 50

и не более 200 человек.

12. Случайная величина X характеризуется рядом распределения:

i x 0 1 2 3 4

i p 0,2 0,4 0,3 0,08 ?

Найти: а) функцию распределения этой случайной величины; б) построить её

график; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случай-

ной величины.

13. Функция распределения случайной величины

Найти: а) дифференциальную функцию распределения; б) вычислить вероят-

ность попадания в заданный интервал P(0 ≤X ≤1) .

14. Плотность случайной величины X имеет вид f (x) A e −x при X ≥0 и

f (x) 0 при X0. Найти: а) коэффициент А; б) математическое ожидание и

дисперсию этой случайной величины.

15. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами

подчиняются нормальному закону распределения с параметрами M[X ] 16kм

и [X] 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами

не менее 17,75 км и не более 16,3 км.