9.3 Метод приведения

Он используется для определения результа­тов косвенного измерения и его погрешности при наличии корреля­ции между погрешностями измерений аргументов. Метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Он предполагает наличие ряда согласованных результа­тов измерений аргументов Q₁₁, Q₁₂,…, Q_2m; Q₂₁, Q₂₂,…, Q_2m;…; Q_j1, Q_j2,…, Q_jm;...; Q_L1, Q_L2,…, Q_Lm полученных в процессе многократ­ных измерений. Согласованность результатов измерений означает либо одновременное их осуществление, либо то, что они выполнены над одним и тем же объектом и в одних и тех же условиях.

Метод основан на приведении отдельных значений косвенно изме­ряемой величины к ряду простых измерений. Получаемые сочетания отдельных аргументов подставляют в формулу (5) и вычисляют отдельные значения измеряемой величины Q: Q₁, Q₂,…, Q_j,…,Q_L.

Результат косвенного измерения и СКО его случайной по­грешности вычисляются по формулам

Доверительные границы случайной погрешности результата из­мерения рассчитываются по формуле Δ = ТS( ), где Т – коэффи­циент, зависящий от вида распределения отдельных значений оп­ределяемой величины и выбранной доверительной вероятности. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы случайных погрешностей вы­числяются по методике для прямых многократных измерений.

Границы неисключенной систематической погрешности и до­верительные границы погрешности результата косвенного измере­ния определяются так же, как и в рассмотренных выше случаях.

Приведем таблицу расчета погрешностей для простейших функций.

N	f	Δf	ε = Δf/f	N	f	Δf	ε = Δf/f
1	x + y	Δx + Δy	(Δx + Δy)/(x + y)	6	x1/n	Δx/(n . x(n-1)/n)	Δx/(nx)
2	x - y	Δx + Δy	(Δx + Δy)/(x – y)	7	sinx	cosx . Δx	ctgx . Δx
3	x . y	xΔy + yΔx	(Δx/x) + (Δy/y)	8	cosx	sinx . Δx	tgx . Δx
4	x/y	(xΔy+yΔx)/y2	(Δx/x) + (Δy/y)	9	tgx	Δx/cos2x	2Δx/sin2x
5	xn	nxn-1 . Δx	nΔx/x	10	lgx	0.434Δx/x	0.434Δx/(x . lgx)

ПРИМЕР расчета ошибки косвенного измерения

Дан цилиндр из некоторого материала, требуется определить плотность этого материала.

Пплотность  численно равна отношению массы тела m к объему V:

Для цилиндра, диаметр которого D, а высота h, объем определяется выражением

Следовательно,

По этой же формуле вычисляют плотность, измеряя непосредственно массу, диаметр и высоту цилиндра. Все три перечисленные величины определяются приближенно. Масса m будет измерена с абсолютной ошибкой m , диаметр D - с ошибкой  D, а высота h - с ошибкой  h. По приближенным (средним) значениям m_ср, D_ср и h_ср вычисляют величину _ср так как истинных значений m, D и h мы не знаем. Тогда возникает вопрос: как же найти ошибку, допущенную при определении плотности.

Для решения этого вопроса в общем виде рассмотрим сначала случай, когда определяемая величина А не может быть измерена непосредственно, а определяется через некоторую величину Х; эта величина Х доступна непосредственному измерению и связана функциональной зависимостью с А. Тогда величину А можно рассматривать как функцию величины Х:

Ошибка Х, допущенная при измерении величины Х, вызовет ошибку А величины А. Очевидно

Правую часть этого выражения разложим в ряд Тейлора :

Ошибка  Х при точных измерениях - весьма малая величина; квадрат этой величины (а также более высокие степени) будет лежать за пределами точности измерения. Это дает нам право в последнем выражении отбросить все члены, содержащие Х в степенях выше первой. Следовательно, будем иметь

где f  (X) - первая производная от f (X) по Х.

Так как А = f(X), то последнее выражение даст нам

(1)

Это очень важное соотношение говорит нам, что абсолютная ошибка функции равна произведению абсолютной ошибки аргумента, умноженной на производную этой функции.

Как было уже указано, абсолютная ошибка - очень малая величина; это позволяет нам рассматривать ее как дифференциал Х; то же самое относится и к абсолютной ошибки функции А. Тогда равенству (1) можно придать вид

(1)

Найдем относительную ошибку  =  А/А, теперь мы можем ее написать так:

Разделив равенство (1) на А , равное f(X), получим:

,

или

(1^//)

Из математики известно, что правая часть последнего выражения есть дифференциал натурального логарифма функции f (X). Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.

Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина определяется через непосредственно измеряемые величины Х₁, Х₂, ..., Х_n, тогда

Каждая из ошибок  Х₁,  Х₂, ...,  Х_n вызывает свою частную ошибку величины А. Обозначим через А₁ частную ошибку величины А, которая получилась благодаря ошибке Х₁. На основании равенства (1) можно написать

Однако надо иметь в виду, что в этом последнем выражении f  (Х₁, Х₂, ..., Х_n). есть частная производная, т.е. при дифференцировании по Х₁ мы должны рассматривать Х₂, Х₃, . . ., Х_n как постоянные.

Заменяя Х₁ через dХ₁ иА₁ через dA₁, перепишем последнее равенство так:

Аналогично для ошибок dA₂, dA₃, . . ., dA_n получим выражения:

Полная ошибка dA для наиболее неблагоприятного случая равна сумме абсолютных значений частных ошибок (т.е.знак производной не учитывается):

или

( П)

Правая часть этого выражения есть полный дифференциал функции f(Х₁, Х₂, ... , Х_n), в котором взята сумма абсолютных значений всех членов. Абсолютная ошибка функции равна полному дифференциалу функции.

Определим теперь относительную ошибку , разделив последнее равенство на А, равное f (Х₁, Х₂, ..., Х_n):

(Ш)

Относительная ошибка функции равна полному дифференциалу натурального логарифма этой функции. Выражения (П) и (Ш) дают возможность вычислить ошибку косвенно-определяемой величины А через ошибки величин Х₁, Х₂, ...., Х_n, с которыми она связана определенным соотношением. При оценке полученного среднего результата А_ср в большинстве случаев удобно начинать с нахождения относительной ошибки  , так как она рассчитывается проще, чем абсолютная ошибка. Для определения средней абсолютной ошибки А пользуются следующим соотношением:

Таким образом, рекомендуется следующий порядок вычисления ошибок среднего результата определяемой величины.

1. По данным опыта методами, указанными выше, вычисляют средние значения каждой непосредственно измеряемой величины (Х_срi) и абсолютные ошибки этих величин ( Х_cрi).

2. Внося полученные значения (Х_срi) в формулу, определяющую искомую величину А, вычисляют эту последнюю А_ср.

3. Логарифмируют выражение, определяющее зависимость искомой величины от величин, измеряемых непосредственно (берут натуральный логарифм).

4. Дифференцируют полученное логарифмическое выражение.

5. Заменяют все дифференциалы (dХ_i) абсолютными ошибками измерений (Х_i) , меняя в полученном дифференциальном выражении все знаки минус на плюсы. В результате получают формулу для вычисления относительной ошибки .

6. В полученную формулу для  вносят значения Х_{i cр} и Х_срi и вычисляют величину .

7. Рассчитывают абсолютную ошибку А по формуле

8. Окончательный результат записывают так:

Рассмотрим пример подсчета результата опыта и оценки этого результата.

Пример. Вернемся к упомянутому выше опыту по определению плотности металла, из которого сделан цилиндр. Из формулы, определяющей плотность, видим, что нам необходимо измерить диаметр D, высоту h и найти массу m.

1. Измерив микрометром диаметр D шесть раз, найдем средний диаметр D_ср и среднюю абсолютную ошибку его измерения:

D_ср = 12.18 мм,  D_ср = 0.005 мм.

Измерив микрометром высоту тоже шесть раз, получим:

h_ср = 25.62 мм,  h_ср = 0.006 мм.

Взвесив один раз цилиндрик, получим массу m = 8.08 г. Наименьший разновес, который употреблялся при взвешивании был 10 мг. Следовательно, за ошибку определения массы можно принять 5 мг. Итак, m = 8 . 08 мг ,  m_ср = 0.005 г.

2. Внося полученные D_ср, h_ср и m_ср в формулу для плотности, вычисляем последнюю

После определенных вычислений _ср = 2.707 г/см²

3. Логарифмируя выражение для вычисления плотности, получим

.

4. Дифференцируя полученное выражение:

5. Вычисляем относительную ошибку  :

6. Вносим в это последнее выражение численные значения m_ср, D_ср, h_ср,  m_ср,  D_ср,  h_ср

( для  достаточно взять значение 3.142, тогда   =0.0005):

.

7. Определяем абсолютную ошибку:

г/см³.

8. Записываем окончательно:

г/см³.