Линейная алгебра

№1. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется:

Ответ: а) нулевой, б) скалярной, в) диагональной, г) единичной.

№2. Совокупность элементов, расположенных в виде таблицы, содержащей строк и столбцов называется:

Ответ: а) матрицей -го порядка; б) матрицей -го порядка;

в) прямоугольной матрицей; г) квадратной матрицей.

Привести пример матрицы .

№3. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется:

Ответ: а) квадратной; б) прямоугольной; в) единичной; г) диагональной.

Привести пример 2-го порядка.

№4. Матрицы называются перестановочными (коммутирующими), если:

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№5. Какое равенство определяет произведение матрицы на число k

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.

№6. Произведение матрицы на матрицу определяется в предположении, что:

Ответ: а) число строк матрицы равно числу строк матрицы ;

б) число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ;

в) число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы ;

г) число строк матрицы равно числу столбцов матрицы .

Привести пример матриц, для которых

№7. Если определитель транспонировать, то:

Ответ: а) величина его не изменится; б) величина его изменится на противоположную;

в) он обратится в нуль; г) другой ответ.

Доказать на определитель 2-го порядка.

№8. Определитель 2-го порядка полученный из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых находится некоторый элемент, называется:

Ответ: а) минором элемента определителя 3-го порядка;

б) минором элемента определителя 2-го порядка;

в) алгебраическим дополнением определителя 3-го порядка;

г) алгебраическим дополнением определителя 3-го порядка.

Привести пример для .

№9. Если в определители второго порядка переставить местами строки, изменится ли его значение? Ответ обосновать

Ответ: а) нет; б) изменится только знак определителя; в) изменится и знак и значение.

№10. Можно ли утверждать, что определитель третьего порядка равен нулю, если он содержит два одинаковых столбца.

Ответ: а) нет, привести пример; б) да, доказать;

в) да, если выполняются некоторые дополнительные условия (указать какие).

№11. Указать верное равенство и его обосновать.

Ответ: а) ; б) ;

в)

№12. Определитель «удобного вида» - это определитель у которого

Ответ: а) все элементы главной диагонали единицы;

б) все элементы некоторого ряда, кроме одного, равны нулю;

в) все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю;

г) другой ответ.

№13. Если к элементам некоторого ряда определителя прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на число, не равное нулю, величина определителя:

Ответ: а) обратится в 0; б) не изменится;

в) умножится на данное число; г) другой ответ.

Доказать для определителя 2-го порядка.

№14. Вычисление определителя 3-го порядка «удобного вида» методом разложения по элементам «удобного ряда» сводится к вычислению:

Ответ: а) 3-х определителей 2-го порядка; б) 2-х определителей 2-го порядка;

в) одного определителей 2-го порядка; г) другой ответ.

Показать на примере.

№15. Формулы Крамера для системы 3-х уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) другой вид.

Ответ обосновать.

№16. Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет:

Ответ: а) решений; б) единственное решение; в) не имеет решений; г) решение.

№17. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется:

Ответ: а) определенной; б) совместной; в) несовместной; г) другой ответ.

№18. Найти сумму матриц и .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№19. Найти разность матриц и , если , .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г)

№20. Найти , если и .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№21. Найти и , если

Ответ: а) не существует; ; б) , не существует;

в) , ; г) и не существуют.

№22. Вычислить определитель :

Ответ: а) -26; б) 13; в) 26; г) 0.

№23. Решить уравнение :

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.

№24. Решить неравенство :

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№25. Вычислить определитель, приведя его к «удобному виду»

(вычислить тремя способами):

Ответ: а) 18; б) -5; в) 0; г) 10.

№26. Решить неравенство: :

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№27. Вычислить : Ответ: а) 8; б) 0; в) -7; г) 25.

№28. Исследовать и решить систему :

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .