Найти производную функции

№1. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№2. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

№3. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№4. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№5. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№6. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

№7. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№8. Найти производную функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№9. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой, равной .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№10. Составить уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой, равной .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№11. Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени ее скорость будет равна нулю?

Ответ: а) ; б) и ; в) ; г) .

№12. Количество электричества, протекающее через проводник определяется законом . Найти силу тока в конце пятой секунды.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№13. Тело движется прямолинейно по закону . Найти ускорение в конце первой секунды.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№14. Найти дифференциал функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№15. Найти дифференциал функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

№16. Найти дифференциал функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№17. Найти дифференциал функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г)

№18. Найти дифференциал функции .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Применение производных

№1. Укажите правильную формулировку теоремы Ролля:

Ответ: а) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ; б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ;

в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю ; г) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю .

№2. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы:

Ответ: а) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы графика функции; б) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ; в) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;

г) на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой нельзя построить касательную.

№3. Укажите правильную формулировку теоремы Лагранжа:

Ответ: а) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;

б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство ;

в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;

г) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство .

№4. Укажите правильную форму записи теоремы Лагранжа:

Ответ: а) ; б) ;

в) ; г) .

№5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что при выполнении условий теоремы:

Ответ: а) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы графика функции; б) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ; в) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;

г) на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой нельзя построить касательную.

№6. Укажите правильную формулировку теоремы Лопиталя для неопределенности :

Ответ: а) если функции и дифференцируемы в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ;

б) если функции и непрерывны в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ;

в) если функции и дифференцируемы в окрестности точки , исключая саму точку , при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ;

г) если функции и непрерывны в точке , , то, если существует предел , то существует и предел .

№7. Укажите правильную формулировку теоремы Лопиталя для неопределенности :

Ответ: а) если функции и дифференцируемы в точке и ее окрестности, при указанных , , то, если существует предел , то существует и предел ;

б) если функции и дифференцируемы в окрестности точки , исключая саму точку , при указанных , , то, если существует предел , то существует и предел ;

в) если функции и непрерывны в точке и её окрестности, , при указанных , , то, если существует предел , то существует и предел ;

г) если функции и непрерывны в окрестности точки , исключая саму точку , при указанных , , то, если существует предел , то существует и предел .

№8. Какое из утверждений верно?

Ответ: а) если , то ;

б) правило Лопиталя справедливо для всех видов неопределённостей;

в) правило Лопиталя не применимо, если ;

г) если не существует, то и не существует.

№9. Функция называется убывающей на интервале , если для любых :

Ответ: а) ; б) если , то ; в) если , то ; г) .

№10. Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей в интервале достаточно, чтобы в каждой точке этого интервала:

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№11. Точка называется точкой минимума функции , если

Ответ: а) при переходе через точку производная меняет знак с - на +;

б) существует достаточно малая окрестность этой точки, в которой все значения функции больше чем значение функции в самой точке ; в) значение функции в точке является наименьшим значением функции на рассматриваемом отрезке; г) существует достаточно малая окрестность этой точки, в которой все значения функции меньше чем значение функции в самой точке .

№12. Продолжите формулировку теоремы Ферма: если точка есть точка экстремума дифференцируемой функции , то:

Ответ: а) производная функции в этой точке не существует;

б) производная функции в этой точке равна нулю или не существует;

в) производная функции в этой точке равна нулю;

г) при переходе через эту точку производная меняет знак.

№13. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то

Ответ: а) касательная к графику функции параллельна хорде, стягивающей концы графика функции;

б) касательная к графику функции в соответствующей точке параллельна оси ;

в) в соответствующей точке к графику функции нельзя построить касательную;

г) касательная к графику функции в соответствующей точке параллельна оси .

№14. Продолжите формулировку необходимого признака экстремума функции: если функция имеет в точке экстремум, то

Ответ: а) производная функции в этой точке равна нулю;

б) производная функции в этой точке равна нулю или не существует;

в) при переходе через эту точку производная меняет знак;

г) производная функции в этой точке не существует.

№15. Критической точкой функции называется точка, в которой

Ответ: а) производная функции равна нулю или не существует; б) производная функции равна нулю;

в) производная функции не существует; г) производная функции равна константе.

№16. Стационарной точкой функции называется точка, в которой

Ответ: а) производная функции равна нулю или не существует; б) производная функции не существует;

в) производная функции равна константе; г) производная функции равна нулю.

№17. При каких условиях имеет место 1-ый достаточный признак экстремума функции?

Ответ: а) функция непрерывна в окрестности точки , исключая саму точку , дифференцируема в точке и её окрестности; б) функция непрерывна в окрестности точки , исключая, быть может, саму точку , дифференцируема в окрестности точки ; в) функция непрерывна в точке и её окрестности, дифференцируема в этой окрестности, исключая, быть может, саму точку ; г) функция непрерывна в точке , дифференцируема в точке и её окрестности.

№18. Согласно 1-му достаточному признаку экстремума функции при переходе через точку максимума:

Ответ: а) вторая производная меняет знак с + на -; б) первая производная функции меняет знак с -  на + ;

в) вторая производная меняет знак с – на +; г) первая производная функции меняет знак с + на -.

№19. Укажите правильную формулировку 2-го достаточного признака экстремума функции:

Ответ: а) пусть в точке первая производная равна нулю , а непрерывная вторая производная отлична от нуля , тогда точка есть точка экстремума функции и, если , то точка - точка минимума, если , то точка - точка максимума;

б) пусть в точке первая производная равна нулю , а вторая производная отлична от нуля , тогда точка есть точка экстремума функции и, если , то точка - точка максимума, если , то точка - точка минимума;

в) пусть в точке первая производная равна нулю или не существует, а непрерывная вторая производная отлична от нуля , тогда точка есть точка экстремума функции и, если , то точка - точка максимума, если , то точка - точка минимума;

г) пусть в точке первая производная равна нулю или не существует, а вторая производная отлична от нуля , тогда точка есть точка экстремума функции и, если , то точка - точка минимума, если , то точка - точка максимума.