8. Эмпирические центральные и начальные моменты

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.

Эмпирическим начальным моментом ( ) порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней вариантов, т.е.

(20)

Эмпирический начальный момент нулевого порядка

Эмпирический начальный момент первого порядка

Эмпирический начальный момент второго порядка и т.д.

Эмпирическим центральным моментом ( ) порядка q называют взвешенную среднюю арифметическую q-x степеней отклонений вариантов от их средней арифметической, т.е.

(21)

Эмпирический центральный момент нулевого порядка

Эмпирический центральный момент первого порядка

(в силу свойства 1° средней арифметической).

Эмпирический центральный момент второго порядка

В дальнейшем для краткости величину часто будем называть просто центральным моментом (начальным моментом), не употребляя термин «эмпирический».

Используя формулу бинома Ньютона, разложим в ряд выражение для центрального момента q-го порядка:

В проведенных тождественных преобразованиях использованы свойства 5° и 3° средней арифметической; — число сочетаний из q элементов по р элементов (p≤.q).

Итак, центральный момент q-го порядка выражается через начальные моменты следующим образом:

(22)

Полагая q = 0, 1, 2,…, можно получить выражения центральных моментов различных порядков через начальные моменты:

;

₍₂₃₎

₍₂₄₎

₍₂₅₎

и т.д.

Заметим, что формула (23) для центрального момента второго порядка, как и следовало ожидать, аналогична формуле (18) для дисперсии.

Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволят значительно упростить их вычисление.

1°. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то центральный момент q-го порядка не изменится.

Доказательство. Если все варианты уменьшить на число с, то средняя арифметическая для измененного ряда равна -с, поэтому центральный момент q-го порядка

Аналогично можно показать, что

2°. Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то центральный момент q-го порядка уменьшится (увеличится) в раз.

Доказательство. Если все варианты уменьшить в одно и то же число k раз, то средняя арифметическая для измененного вариационного ряда равна , поэтому центральный момент q-гo порядка

Аналогично можно показать, что

Для облегчения расчётов центральные моменты вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по вариантам х'=(х — с)/k. Зная (центральный момент q-го порядка для измененного ряда), легко вычислить центральный момент q-го порядка для первоначального ряда:

(26)

Действительно, принимая во внимание свойства центрального момента, получаем

откуда следует, что