9. Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застос до розв задач на побудову.

Багато теорем з шк курсу пов’язані з пон подібності фігур. Якщо відмовитись від зберігання розмірів, розгл лише ті перетв, при яких залиш незмін форма структури, то ми одержимо групу подібних перетворень. Вони не змінюють розмірів, а лише збільш або зменш всі її розміри в одне і те ж число раз.

О. Перетв подібн пл наз таке перетв при якому кожній парі т , що , де , -коеф подібності.

- рух, що є частковим перетв подібності.

О. Дві ф-ри наз подібними, якщо перетворюються одна в одну перетворенням подібності .

В-сті:

1) при перетв подібності з т , що лежать на одній прямій, переходять в т , що лежать на одній прямій.

Дов: нех дано т , і всі вони лежать на одній прямій. Тоді , за озн подібності лежать на одній прямій. Якщо т не лежать на одній прямій то їх образи теж не лжать на одній прямій.

Наслідок: при перетв подібн пряма у пряму, відр у відр, півпл у півпл.

2) при перетв подібн відношеня довжини відр зберігається.

Дов: нех -відр, -образи цих відрізків, .

3) при перетв подібн прямі перех у прямі.4) зберіг величина кута.

5) Якщо нал одній прямій, -т цієї площини. , то подібне перетв пл таке, що .

Частк вип: перетв подібн гомотетія. Це відобр пл на себе.

О. Гомотетією з центром в т і коеф наз перетв пл, при якому, образом т є , і позн . Коли то та променеві , коли , то та променеві і лежать по різні боки від т , - тотожне перетв.

О. Гомотетія наз прямою, коли і оберненою коли .

Можна пок, що оберн перетв до гомотетій є гомотетія. Справді (1).

З (1): .

Т. Якщо т є образами т при гомотетії з коеф , то .

Д ов: з озн гомотетії , тоді .

Т. Мнж всіх перетв подібності утв групу.

Дов: Справді, добуток 2-х перетв подібності з коеф і . Множеня перетв подібн асоціативне, як множ геом перетв. Одиничне перетв можна розгл, як перетв з коеф . Отже, ми перетв утв групу. При перетв подібн є рух. Отже, група рухів є підгрупою групи перетв подібності.

О. Перетв подібності пл, що зберіг орієнтацію наз перетв под 2-го роду.Суть методу перетв подіб при розв задач на побудову полягає в тому, що ми безпосередньо шукану фігуру побуд не можемо, але фігуру подібну до шуканої можемо побуд. Тоді викон перетворення обернене до даного і одерж шукану фігуру.

1. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів. Iх властивості та застосування.

2. Системи координат в трьохвимірному просторі. Перетворення системи координат.

3. Теорія прямих на площині (в аналітичному викладі).

4. Алгебраїчні криві другого порядку на евклідовій площині.

5. Теорія площин у просторі (аналітичний виклад).

6. Теорія прямих у просторі. Прямі та площини в просторі.

7. Поверхні обертання. Еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди (аналітична теорія).

8. Група рухів площини та її підгрупи. Застосування до розв’язування задач на побудову.

9. Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застосування до розв’язування задач на побудову.