6. Теорія прямих в просторі

Нехай в просторі задано прям. декартову сис. коорд., відносно неї розміщена пряма . Нехай т. , — напрямлений вектор прямої , — біжуча точка. парал до (1) — р-ня прямої .

У записі (1) є 2 р-ня , що є р-ням площини, тоді пряма утворена як перетин площин і (1) наз. канонічними р-нями.

Прикладом є параметричне р-ня прямої, утв. з (1) прирівнявши кожне відношення до . .

Зручно використовувати для знаходження такого перетину прямої і площини, р-ня прямої, що проходить через 2 т. і :

Вище говорилося, що пряма утв. як перетин 2-х площин. Нехай (*)

Сис. (*) наз. загальним р-ням прямої. Зведемо його до канонічного виду. Для знаходження напрямленого досить знайти — век. добуток (за озн): будемо мати р-ня: , де . Є поняття кута між прямими в просторі – це кут між їх напрямленими век., або кут, що доповнює його до . Коли маємо 2 прямі і і їх напрямлені век. та , відповідно, то прямі ортогональні , .

Прямі в площині перетинаються, якщо: . 2-3 рядки пропорційні.

Взаємне розміщення прямої і площини

О. Кут між прямою і площиною — це кут між прямою і її ортогональною проекцією наплощину. ; а: .

— кут між век. , .

(+ — гострий, - — тупий)

Пряма паралельна площині: .

Пряма площині: .

Пряма належить площині: .

, де — точка належить прямій.

7. Поверхні обертання

Нехай задано пряму і лінію , які знаходяться в одній площині.

О . Поверхню, яка разом з кожною своєю точкою містить все коло, утв. оберненням цієї точки навколо зафіксованої прямої наз. поверхнею обертання, — вісь обертання.

О. Повехня, яка утв. від обертання еліпса навколо осі наз. еліпсоїдом обертання і р-ня .

О. Поверхню, яка утв. внаслідок обертання гіперболи, що в має р-ня наз. однопорожнинним гіперболоїдом обертання.

О. Обертанням параболи, що в задається визначає пароболоїд обертання — параболоїд; — гіперболічний параболоїд;

Встановимо форму еліпсоїда.

1) пов. симетрична відносно всіх осей коорд. площини і поч. коорд.

2) токи перетину з осями , , , , розв’язків немає, вісь симетрії пов., що не перетинає — вершини, — дійсні осі, третя уявна, — півосі.

3) перетнемо повехню площиною . , де — перетин пов. площини . Отримаємо еліпс з півосями і і коли , , тоді . Отже, при перетині пов. площини отримаєм еліпси, причому при , чим більше , тим більші півосі елепса.

Встановимо форму гіперболоїда.

1) перетнемо пов. площиною , — гіпербола з дійсною віссю і уявною .

Нехай , — ним в площині визначається гіпербола, втановимо її залежність від . Коли , то в площині отримаємо гіперболи з дійсною віссю і уявною .

Нехай , тоді , , . При перетині площиною отримаєм пару прямих. Нехай , тоді , тоді в площині отримаємо гіперболу з дійсною і уявною віссю.

5) аналогічно при перетині площиною .