2. Система координат в 3-вимірному просторі. Перетворення системи координат.

В ізьмемо довільну точку О і базис простору. Ця четвірка наз афінною сис координат в 3-вимірному просторі . (1)

Точка О — початок координат, а координатні вектори. Напрямлені прямі, що проходять через початок координат і паралельні коорд векторам, на яких додатній напрям визначається цими векторами, наз коорд осями. Це осі абсцис, ординат і аплікат . Площини, що визначаються поч коорд і осями наз координатними площинами і позначаються .

Нехай т М — т простору. Вектор — радіус-вектор т М відносно О. Координати в-ра в базисі наз координатами т М.

Число – абсциса, – ордината, – апліката. Пишуть т : . Для побудови т в системі за її коорд користуються формулою: . Від початку координат відкладають вектор , від точки відладають век і від точки — . За правилами многокутника: . М — шукана точка.

Ламану наз коорд ламаною. Якщо виконується рівність: . Век лінійно залежні, тому колінеарні. Це означає, що т .

Аналогічно , то що т осі абсцис . т осі ординат . т осі аплікат .

Кожна координата вектора = різниці відповідних координат кінця і початку вектора.

Нехай і , то : , де — точка, що ділить відрізок у відношенні . .

С ис коорд наз прямокутною декартовою або декартовою, якщо базис цієї сис є ортонормованим. Таку сис коорд з початком в т О позначають так: або , де . . Нехай в прямокутній сис коорд задано т. і , які мають координати і . Обчислим відстань між ними. Оскільки за формулою , то враховуючи, що : .

Формули переходу.

Р озглянемо в просторі дві афінні сис коорд і . Нехай т простору: в старій сис , в новій . Завдання полягає в тому щоб, знаючи , , , (1) в старій сис виразити координати т М через тієї ж точки М в новій системі. За озн. коорд. в-рів з (1): . За правилом трикутника: , , , ; (2)

Ф-ли (3) наз. ф-лами перетворення афінної сис. координат. З цих ф-мул отримуючи ф-ли перетворення координат при переході від до .

, , - ф-ли парал. перенесення.

, , - ф-ли при повороті.

Розглянемо перет. прямок. сис. коорд. При переході від до іншої , можна використати ф-ли (3). Матриця переходу від базису до має вигляд: .

Сума квадратів кожного рядка матриці , сума добутків відповідних елем. 2-х її різних стовпців =0, така матриця наз. ортогональною.

3. Теорія прямих на площині.

Напрямленим вектором прямої будемо наз. довільний ненульвий в-тор паралельний до цієї прямої.

На прямій виберемо довільну т. М , яка наз. біжучою т. прямої. В-ри і компланарні. Їх коорд. пропорційні  (1) — загальне рівняння прямої.

Р івняння прямої задане напрямленим вектором, яка проходить через задану точку має вигляд: .

Т. Для того, щоб пряма задана заг. р-ням проходила через поч. коорд. Н. і Д. , щоб .

Д . 1) . Поч. коорд. належить цій прямій. З другого боку, якщо пряма проходить через поч. коорд. тоді і т. задовільняє цю рівність, а це можливо тоді коли .

2) — пряма паралельна

3) — пряма належить осі

4) — пряма паралельна Ох

5) — пряма належить осі Ох

.

Т. Для того, щоб (1) і (2) співпадали Н. і Д., щоб коеф. в р-нях були пропорційні.

.

Нехай належить прямим, тоді має місце (3), (4). З (3) і (4) . Отже, якщо р-нями (1) і (2) задана одна і та ж пряма, то коеф. в цих р-нях пропорційні.

— умова паралельності двох прямих.

— р-ня прямої, що проходить через дві точки.

d не парал. до j, тому . парал до (1) або . .

— величина напрямленого кута між додатнім напрямком осі абсцис і .

; . — нормальне р-ня прямої .(2)

(3)

Оскільки (2) і (3) — одна і та ж пряма, то . , .

Знак протил. до знака вільного члена в (2).

О. Під відстанню від т. до прямої будемо розуміти довжину опущеного з цієї т. на пряму.

О. Відхиленням т. від прямої будемо наз. число (відстань від т. до прямої), якщо т. і т. знаходяться по один бік від .

Т. Якщо т. має коорд. , а пряма задана нормальним р-ням , то відхилення т. від цієї прямої задається: . — параметричне р-ня прямої.

О. Під кутом між прямими розуміють менший з двох кутів, які утворюють ці прямі.

Пучок прямих можна подати в такий спосіб: .