1. Скалярний і векторний добуток двох векторів, їх властивості та застосування.
Нехай
і
ненульові вектори. Якщо розмістити ці
вектори на прямих паралельних до кожного
з них і задати напрямок, що співпадає
з напрямком векторів, то отримаєм дві
напрямлені прямі, які в загальному
випадку не перетнуться.
О.
Кутом між напрямленими прямими назвемо
менший з двох кутів, які вони утворюють.
О.
Під кутом між 2-ма векторами будемо
розуміти кут між напрямленими прямими
.
О.
Число
будемо називати скалярним добутком
векторів
,
якщо воно
.
Якщо скал добуток =0,
то ці вектори перпендикулярні або один
з них 0-вектор.
Т.
Скалярний добуток двох векторів, заданих
своїми координатами відносно
ортонормованої бази = сумі добутків
відповідних координат цих векторів:
(1).
Д.
Нехай
–
не колінеарні і не нульові. Виберемо
точку О і відкладемо вектори
.
Розглянемо
.
За теоремою косинусів:
або
(2)
;
,
,
тоді
.
Підставимо одержані рез-ти в (2), маємо:
.
Теорему доведено.
Т.
Для довільного дійсного
і дов векторів
мають місце співвідношення:
1)
— комутативність
2)
—
сполучна
3)
— розподільна
Д.
1)
2)
=
.
Т. д.
Скалярний добуток застосов. для виявлення ортогональних прямих в евклідовому просторі.
О.
Векторний добуток в-ра
на
називається вектор
,
такий що задовільняє умовам:
1)
;
2)
і
;
3)
утворюють праву трійку. Позначабть век
доб
.
Т.1.(Геом власт векторного добутку) Векторний добуток двох не нульових векторів =0 тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.
Д.
1)
і
-
колінеарні. Можливі випадки:
=0
і
=180.
В обох випадках sin
цих кутів =0. Тому
=0
Отже, век доб цих векторів =0.
2)
Нехай век доб цих векторів =0. Тоді
=0.
Це можливо тоді, коли sin
=0.
Тому
=0
або 180. Звідки
і
колінеарні.
Т2.
Якщо вектори
і
зведені до спільного початку, то модуль
векторного добутку = площі паралелограма
побудованого на цих векторах, як на
сторонах (геом зміст).
Справедливість
теореми випливає з формули
.
Алгебраїчні властивості
Антикомутативна:
=
.
Сполучна
відносно скалярного множника
,
.
Дистрибутивна
властивість відносно
відносно
Т.
Якщо
і
задані своїми координатами
то відносно базису
=
Д.
Т.д.
Застосування.
:
у фізиці — механічна робота, магнітний
потік.
:
момент сили, тангенціальна та кутова
поверхні.
О.
Мішаним або векторно-скалярним добутком
3 впорядкованих векторів
,
і
наз. Скалярний добуток вектора
на вектор
.
.
Т.
Якщо
,
,
задані своїми координатами
,
в ортонормованому базисі, то їх мішаний
добуток = визначнику 3-го порядку, рядками
якого є координати цих векторів.
Д.
.
Т.
Абсолютна величина мішаного добутку
трьох векторів = об’єму паралелепіпеда,
побудованого на них, віднесених до
спільного початку. При цьому
,
якщо трійка
,
,
- права,
,
якщо трійка
,
,
- ліва і
0,
якщо
,
,
- компланарні.