О. И. Невдобенко¹

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 3

Классическая логика высказываний

В этой главе изучаются структуры предложений с точностью до простых предложений, т.е. внутренняя структура простых предложений не рассматривается и параметры вводятся только для простых предложений. Учитываются только способы соединения простых предложений. Представление структур предложений необходимо для решения, как минимум, двух задач.

Во-первых, логические формы предложений будут специфицированы: среди всех возможных структур предложений будут выделены те, которые порождают только истинные предложения (законы логики), те, которым соответствуют только ложные, и те, которым соответствуют как истинные, так и ложные предложения.

Второе применение структур предложений связано с изучением элементарного логического действия – шага вывода. Для того чтобы определить, является ли умозаключение логически правильным (следует ли из информации посылок информация заключения), необходимо проанализировать его структуру, а для этого надо представить структуры (предложений-) посылок и (предложения-)заключения.

Тема 1: Язык классической логики высказываний (яклв)

Основные понятия, которые необходимо усвоить: формализованные языки (их основные отличия от естественных языков) логические и нелогические символы ЯКЛВ правильно построенное (осмысленное) выражение теории КЛВ (формула ЯКЛВ) местность логических связок подформула главный знак формулы нагруженное дерево формулы объектный язык и метаязык

Определения и примеры

Структуры языковых выражений формализованных языков могут строиться только из символов, перечисляемых в алфавите, в частности это относится и к языку первой из изучаемых здесь логических теорий. Исходные символы языка КЛВ делятся на три группы: те, которые несут логическую информацию; те, которым соответствует нелогическая информация; наконец, вспомогательные символы, указывающие на порядок построения выражения.

Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

1. Нелогические символы:

p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ … (и т.д.), –

называются пропозициональные (или высказывательные) переменные².

2. Логические символы:

, , , , , , Т.

3. Технические символы: левая и правая скобки – ( , ).

Еще раз: из этих символов (и только из них) строятся в логике высказываний структуры предложений естественного языка.

Логические символы (за исключением двух) вводились как аналоги некоторых выражений естественного языка. В нижеследующей таблице, дающей краткое предварительное ознакомление с введенными логическими символами, в скобках указаны другие распространенные способы обозначений соответствующих связок (но не все).

символ	название	приблизительное соответствие в естественном языке
 (~, ¯)	отрицание	"неверно что", "ложно", "не имеет места"
 ()	конъюнкция	соединительное "и", союзы "а", "но", выражения "а также", "как … так и…"
	дизъюнкция	"или", "либо"
 (,)	импликация	отношение следования, условная связь "если … то…"
 (,)	эквиваленция	"если и только если", "тогда и только тогда когда", "эквивалентно", "равносильно"
 (0)	константа лжи	нет соответствий
Т (1)	константа истины	нет соответствий

Хотя константам истины и лжи ничего не соответствует в естественном языке (нет предложений такой структуры), их введение имеет ряд достоинств.

Формула ЯКЛВ (структура предложения естественного языка):

1. всякая пропозициональная переменная (p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ …) является формулой;

2. символы , Т являются формулами;

3. если последовательность символов А является формулой, то последовательность символов А также есть формула;

4. если последовательности символов А и В являются формулами, тогда следующие последовательности символов также формулы: (АВ), (АВ), (АВ), (АВ);

5. формулой является только последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

Примеры формул

1. р – по п.1 определения формул

2. s₁₁₂ – по п.1

3. Т – формула по п.2

4. р – по пп.1 и 3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула)

5. р – формула по пп.1,3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула, поэтому р – формула; раз р – формула и отрицание любой формулы – в частности этой – опять дает нам формулу, то и р – формула, наконец еще раз применяем п.2 определения формулы и получаем р)

6. (s&q) – формула по пп.1,4

7. ((s&q)& ) - формула по пп.1,2,4

Договоренность об опускании внешних скобок В дальнейшем внешние скобки (первую открывающуюся и последнюю закрывающуюся) будем опускать (это не приведет к неоднозначностям в прочтении формул). Так, например, формулы ((s&q)&), ((rq)s), ((ss)(rr)) в соответствии с этой договоренностью будем записывать (s&q)&, (rq)s, (ss)(rr).

Примеры формул (продолжение)

8. (s&q)р

9. ((s&q)р)r

10. ((s&q)р) ((rr₂)r₁)

Местность связок

Логические связки характеризуются с точки зрения местности. Местность логической связки – количество формул, которое нужно присоединить к ней, чтобы получить формулу.

 – одноместная (унарная) связка.

, , ,  – двухместные (бинарные) связки.

, Т – нульместные связки (сколько нужно иметь в распоряжении формул, чтобы превратить запись  в формулу (достроить ее до формулы)? Ответ – нисколько, или – 0, т.к. запись  уже является формулой, в отличие от &, например.)

Примеры последовательностей символов, не являющиеся формулами (т.е. с точки зрения данного языка – неосмысленные, не являющиеся структурами предложений)

1.(р) – ошибка: в скобки заключаем только формулы, содержащие бинарные связки (, , , )

2. (r) – та же ошибка

3. () – та же ошибка

4. rq – ошибка: две формулы (в данном случае r и q) должны быть соединены какой-то двухместной связкой

5. rq – аналогичная ошибка: две формулы (в данном случае r и q) должны быть соединены какой-то двухместной связкой (r и q не могут быть связаны отрицанием – , так как это одноместная связка)

6. rq – ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности импликации, должны стоять формулы, слева от импликации вообще ничего нет (справа ситуация, в общем-то, не лучше, поскольку после  стоит неосмысленная последовательность символов (= не формула))

7.qs – аналогичная ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности дизъюнкции (), должны стоять формулы, но слева от первой (слева) дизъюнкции вообще ничего нет (аналогия с записями в алгебре: следующие записи очевидно неосмысленны: ab, :a:b, – здесь тип синтаксической ошибки тот же, что и в qs)³

8. (r,q) – ошибка: в построенном языке не используется запятая, поэтому никакая запись с запятой не будет формулой этого языка

9. рассмотрим четыре записи: rq, rq, rq, rq – ошибка во всех четырех одна и та же: две двухместные связки не могут идти подряд (аналогия с записями в алгебре: вы понимаете, что бессмысленно писать х+у, z-:x, x-++z, у:-х; в формулах данного примера аналогичная ошибка).

О скобках

Скобки в формулах построенного языка выполняют ту же роль, что и при построении алгебраических выражений: они указывают последовательность построения и вычислений. Так, вы понимаете, что в выражении (10-(9-8)) сначала вычисляется значение (9-8), а затем значение всего выражения, а в выражении ((10-9)-8) сначала вычисляется первая слева разность (10-9), а затем вторая, – порядок вычисления указан расстановкой скобок.

Рассмотрим 2 формулы: (sq) и sq. Первая утверждает: неверно, что s эквивалентно q (неверно, что информация предложения s та же, что и в предложении q); вторая: ложность s эквивалентна истинности q, – а это разные вещи. И разница в записи этих двух видов (структурной) информации достигается использованием скобок.

Подформула формулы А - любая формула, входящая в состав А.

Пример 1 Формула: sq.

Ее подформулами являются: s, q, s, sq.

Пример 2 Формула (sq).

Ее подформулами являются: s, q, sq, sq.

Пример 3 Формула ((s&q)р)((rr₂)r₁).

Ее подформулы: s, q, p, р, s&q,(s&q), (s&q)р, rr₂, (rr₂)r₁, ((s&q)р) ((rr₂)r₁).

Обратите внимание, что каждая формула является своей подформулой.

Главный знак формулы – последний при построении данной формулы логический символ.

Примеры. Для следующих формул их главные знаки подчеркнуты.

sq

(sq)

(s&q)р

(s&(qр))

s&(qр)

((s&q)р)  r

((s&q)р)  ((rr₂)r₁)

Главный знак в формуле играет роль аналогичную последнему вычислению (операции, значение которой вычисляется в последнюю очередь). Так, чтобы понять, какое число задает выражение 8+27², необходимо произвести три вычисления, из которых последнее – суммирование. С точки зрения построения и порядка вычисления оно является в этой записи тем, что для формул мы назвали главным знаком.

Терминология В формуле вида А&В формулы А и В называются конъюнктами. В формуле вида АВ формулы А и В называются дизъюнктами. В формуле вида АВ формула А называется антецедент (импликации), а формула В – консеквент (импликации).