12. Основные задачи по проектированию балочной конструкции

Поставим задачу спроектировать рассматриваемую однопролётную статически неопределимую балку, левый конец которой свободно опёрт на абсолютно жёсткую опору, а правый конец балки упруго защемлён. Балка находится под действием внешней равномерно распределённой нагрузки как это показано на рис. 1.

Оптимальность проектирования любой балочной конструкции заключается в создании такой конструкции, которая соответствовала бы двум главным критериям: материалоёмкости и технологичности.

Первый критерий устанавливает условие, чтобы на изготовление конструкции потребовался бы наименьший объём материала, а второй критерий устанавливает условие, чтобы при изготовлении конструкции потребовались бы наименьшие трудовые и материальные затраты. Критерий технологичности можно достигнуть, если балка по всей длине будет призматической, а профиль балки будет выбран на основании имеющихся сортаментов катаных профилей.

В этом случае профиль балки должен быть определён из условия действия на балку изгибающих моментов и перерезывающих сил, имеющих наибольшие значения. Такими значениями, как это было показано выше являются для изгибающих моментов – значение изгибающего момента M_оп, действующего в районе упругой заделки, а для перерезывающих сил - значение перерезывающей силы N(L) также действующей в районе упругой заделки при x =L.

Для удовлетворения первому критерию – материалоёмкости профиль балки необходимо определить, исходя из действия на балку изгибающего момента в пролёте и имеющего экстремальное значение М_пр, которое по своему абсолютному значению меньше, чем значение наибольшего изгибающего момента M_оп..

12. Определение длины призматического участка балки

Учитывая характер распределения значений изгибающих моментов по длине балки, приведенный на рис. 2, можно определить протяженность такого призматического участка L_пр, отсчитываемого от левой абсолютно жёсткой свободной опоры при х = 0_, в пролёте которого действует изгибающий момент М_пр, а на его правом конце (при х = L_пр) действует изгибающий момент М(L_пр), численное значение которого по своей абсолютной величине равно значению изгибающего момента М_пр:

(45)

Тогда на протяжении призматического участка L_пр профиль поперечного сечения балки будет определён на основании значений изгибающего момента М(L_пр) и перерезывающей силы N(L_пр), меньших по своим абсолютным значениям, чем соответствующие наибольшие значения изгибающего момента М(L) и перерезывающей силы N(L).

Учитывая формулы (28) и (39) уравнения (45) запишется в виде:

, (46)

которое после преобразований приводит к следующему алгебраическому уравнению второго порядка относительно искомой величины протяженности призматического участка L_пр :

(47)

Решение уравнения (47) приводит к следующему выражению, определяющему значение величины L_пр :

(48)

Для рассматриваемых в качестве примера исходных данных длина призматического участка будет равна:

или по отношению к общей длине балки: