2. Основные зависимости технической теории изгиба призматических балок

В основе технической теории изгиба балок лежит принимаемая гипотеза плоских сечений, на основании которой устанавливается следующая связь между изгибающим моментом M(x), действующим на балку и радиусом кривизны «R» балки в любой точке (x):

EJ / R = M(x) (1)

18. Если воспользоваться известной из курса аналитической геометрии линейной приближённой дифференциальной зависимостью, устанавливающей значение кривизны:

19. 1/ R = W^II(x), (2)

справедливое при малых значениях деформаций балки, когда имеет место неравенство:

W^I(x) « 1.0 ,

то уравнение (1) преобразуется в следующее дифференциальное уравнение второго порядка относительно прогиба балки W(x):

EJ W^II (х) = M(x). (3)

Для получения полного дифференциального уравнения, описывающего деформирование статически неопределимой балки с самыми разными граничными условиями и при действии различных внешних нагрузок необходимо воспользоваться зависимостями Журавского:

,

,

подстановка которых в уравнение (3) приводит к дифференциальному уравнению изгиба призматической балки следующего вида:

EJW^IV (x) = q (x) (4)

В этом уравнении, которое может быть отнесено к уравнению равновесия, левая часть представляет собой интенсивность внутренних усилий, вызванных сопротивлением балки упругому деформированию – изгибу. Эти внутренние усилия уравновешиваются действующими на балку внешними усилиями q(x), стоящими в правой части уравнения (4).

После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (4) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

, (5)

в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки. При этом каждая из величин А, В, С, D имеет определённый физический смысл, а именно:

D = W(0) - значение прогиба балки в начале координат,

С = W^I(0) - значение угла поворота поперечного сечения балки в начале координат,

В - M(0) / EJ, где M(0) - значение изгибающего момента, действующего на балку в начале координат,

А = N (0) ) / EJ, где N (0) - значение перерезывающей силы, действующей на балку в начале координат.

В соответствии с вышеуказанными величины А и В являются силовыми параметрами, а величины С и D являются кинематическими параметрами.

1. Граничные условия по концам рассматриваемой балки

Для определения значений постоянными интегрирования А, В, С, D необходимо составить граничные условия для рассматриваемой балки, расчётная схема которой приведена на рис.1.

Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:

W(0) = 0 (6)

W^II (0) = 0 (7)

Условие (6) определяет значение прогиба балки в начале координат, а условие (7) определяет значение изгибающего момента, действующего на балку в начале координат).

На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:

W(L) = 0 (8)

(9)

Условие (8) определяет значение прогиба балки на правом конце балки, а условие (9) устанавливает связь между значением угла поворота W^I(L) поперечного сечения балки на правом её конце и изгибающим моментом M(L), действующим на балку в районе упругого защемления (при х = L ).