Закон больших чисел

1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов будет более 500.

Ответы:

1) 0,6;

2) 0,5;

3) 0,7;

4) 0,4;

5) 0,8.

2. Дисперсия случайной величины D(X)=1,1. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания М(X) не превзойдет 1,5. Искомая вероятность больше…

Ответы:

1) ;

2) ;

3) 0,5;

4) 0,49;

5) .

3. Сколько нужно провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5. Число измерений не менее…

Ответы:

1) 400;

2) 500;

3) 1000;

4) 1 500;

5) 700.

4. Для определения средней продолжительности горения электролампы в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп меньше 7 часов. Искомая вероятность не менее…

Ответы:

1) 0,01;

2) 0,96;

3) 0,97;

4) 0,98;

5) 0,99.

Т е м а 9

Тесты по теоретическому материалу

1. Какие события называются несовместными?

Ответы:

1. если они не могут произойти в условиях данного опыта или испытания;

2. если при двух событиях наступления одного из них исключает возможность наступления другого;

3. два события, одно из которых обязательно должно произойти, причем наступление одного исключает возможность наступления другого.

2. Как звучит первая аксиома теории вероятностей?

Ответы:

1. вероятность достоверного события равна единице;

2. вероятность невозможного события равна нулю;

3. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

3. Какое утверждение неверно, если говорят о противоположных событиях?

Ответы:

1. событие, противоположное невозможному, есть достоверное;

2. вероятности появления одного из противоположных событий всегда больше вероятности другого;

3. если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными.

4. Вероятность наступления, хотя бы одного из двух совместных событий А и В, определяется формулой…

Ответы:

1. р(А+В)=р(А)+р(В);

2. р(АВ)=р(А)р(В);

3. р(А+В)=р(А)+р(В) –р(АВ).

5. Какая из перечисленных формул не всегда справедлива для любых событий А, В, С ?

Ответы:

1. А+В+C=В+А+C;

2. А(В+С)=АВ+ВС;

3. А+C+В–В=А+C.

6. В каком из перечисленных случаев понятие геометрической вероятности неприменимо?

Ответы:

1. если пространство элементарных событий одномерно;

2. при вычислении вероятности выигрыша в рулетку;

3. при вычислении вероятности числа появлений события при независимых испытаниях.

7. Какому условию должны обязательно удовлетворять события Н₁ и Н₂, чтобы была справедлива формула полной вероятности:

?

Ответы:

1. ;

2. ;

3. .

8. Могут ли какие-либо события быть одновременно независимыми и несовместными?

Ответы:

1. могут, если у них нет общих элементов;

2. не могут ни при каких условиях;

3. могут, например достоверное и невозможное событие.

9. Какое равенство есть определение независимых событий А и В?

Ответы:

1. р(АВ) = р(А)р(В);

2. p(A/B) = p(A);

3. p(AB) = 0.

10. Какое утверждение справедливо, если А и В независимы?

Ответы:

1. р(А+В) = р(А)+р(В);

2. р(А+В) = р(А)+р(В) – р(АВ);

3. ни одно утверждение не справедливо.

11. Какое утверждение справедливо, если А и В – независимы?

Ответы:

1. р(АВ) = р(А)р(В);

2. р(АВ)=р(А)р(А/В);

3. ни одно утверждение не справедливо.

12. Как определяется формула Байеса?

Ответы:

1. ;

2. ;

3. .

13. Величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, называется…

Ответы:

1. вероятностной;

2. дискретной;

3. случайной.

14. Случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями, называют…

Ответы:

1. определенной;

2. дискретной;

3. непрерывной.

15. Число возможных значений дискретной случайной величины…

Ответы:

1. всегда конечно;

2. может быть и конечным и бесконечным;

3. всегда счетно бесконечно.

16. Случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, называют…

Ответы:

1. неопределенной;

2. относительной;

3. непрерывной.

17. Формула выражает распределение, называемое…

Ответы:

1. геометрическим;

2. гипергеометрическим;

3. распределением Пуассона.

18. Весь прямоугольник – достоверное событие . Круги – другие события. Какое событие имеет наибольшую вероятность?

Ответы:

1) А; 2) В+С; 3) .

19. Дана f(x) – плотность вероятности случайной величины. Функция распределения F(x) может быть найдена…

Ответы:

1. ;

2. ;

3. .

20. Какой формулой выражается распределение Пуассона?

Ответы:

1. ;

2. ;

3. .

21. Какая из перечисленных случайных величин может быть распределена по закону Бернулли?

Ответы:

1. число молекул в выбранном объеме;

2. число звонков, поступающих на коммутатор;

3. число попаданий в цель при 10 выстрелах.

22. Какая из перечисленных случайных величин может быть распределена равномерно?

Ответы:

1. рост студентов;

2. дальность полета артиллерийского снаряда;

3. угол поворота стрелки рулетки, отсчитанный от некоторого фиксированного положения.

23. Какая из перечисленных случайных величин может быть распределена по показательному закону?

Ответы:

1. число детей, родившихся в течение суток;

2. время безотказной работы радиоаппаратуры;

3. время ожидания автобуса на остановке.

24. Случайная величина X имеет нормальное распределение с числовыми характеристиками математического ожидания М(X)=3, дисперсией D(X)=4. Указать правильное выражение плотности распределения f(x).

Ответы:

1) ;

2) ;

3) .

25. Укажите рисунок, изображающий график, который не может быть графиком функции распределения.

F(x)

F(x)

F(x)

1

1

1

а

б

в

Ответы:

1) рис. а; 2) рис. б; 3) рис. в.

26. Если случайная величина X имеет показательный закон распределения с дисперсией D(X), равной 0,04, то плотность ее распределения имеет вид при …

Ответы:

1) 0,2е–0,2х;

2) 5е–5х;

3) 25е–25х.

27. Какое свойство не обязательно для функции распределения?

Ответы:

1. ;

2. F(x) не убывает с ростом х;

3. F(x) не имеет разрывов.

28. Если возможные значения случайной величины X принадлежат всей числовой оси, то математическое ее ожидание определяется формулой…

Ответы:

1) ;

2) ;

3) .

29. Указать рисунок, изображающий график, который может быть графиком плотности распределения.

а

б

в

f(x)

f(x)

f(x)

Ответы:

1) рис. а; 2) рис. б; 3) рис. в.

30. Указать правильное определение дисперсии для произвольной случайной величины X.

Ответы:

1) ;

2) ;

3) .

31. Что происходит с функцией распределения двумерной случайной величины F(x, y), если один из ее аргументов равен бесконечности?

Ответы:

1. обращается в 1;

2. обращается в 0;

3. обращается в бесконечность.

32. Укажите условие, при котором величины X и Y независимы наверняка.

Ответы:

1. коэффициент корреляции равен 0;

2. ;

3. условия: 1) и 2) должны выполняться.

33. Из теории Чебышева следует, что среднее арифметическое последовательности одинаково распределенных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию. Каким свойством обязательно должны обладать эти величины?

Ответы:

1. они должны быть нормально распределены;

2. они должны быть независимы;

3. слагаемые должны вносить равномерный вклад в сумму.

Приложение 6