Контрольные вопросы
Какая функция называется случайной? Приведите примеры случайных функций.
Что называется реализацией случайной функции?
Какая существует связь между понятием случайной функции и понятием случайной величины?
Каким образом можно дать описание случайной функции с вероятностной точки зрения?
Дайте определение математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции случайной функции.
Какая существует связь между дисперсией и корреляционной функцией?
Назовите основные свойства корреляционной функции.
Чем отличается нормированная корреляционная функция от корреляционной функции?
Как можно классифицировать случайные процессы?
Какая случайная функция называется стационарной? Приведите примеры стационарных случайных функций.
Что называется спектральным разложением стационарной функции?
12. Что называется спектральной плотностью? Какими преобразованиями связаны между собой корреляционная функция и спектральная плотность стационарной случайной функции?
13. Какой стационарный случайный процесс называется белым шумом?
14. В чём заключается эргодическое свойство стационарных случайных функций?
15. Какие системы называются СМО? Приведите примеры СМО.
16. Какой случайный процесс называется марковским?
17. Что такое граф состояний? Дайте определение вероятности состояния и предельной вероятности состояния и объясните их смысл.
18. Сформулируйте правило составления уравнений Колмогорова.
Приложение
Приложение 1
Образец выполнения контрольного задания № 1
1. Электрическая цепь составлена по схеме:
Вероятности работы элементов А, В1, С1, С2 соответственно равны 0,7; 0,8; 0,6; 0,9. Найти вероятность разрыва цепи.
Р
е ш е н и е. По условию задачи вероятности
работы элементов:
;
откуда вероятности отказа элементов
Введём событие D – работа цепи, тогда
.
Обозначим
и, применяя формулу умножения для
независимых событий, получим
.
Вероятность работы цепи:
.
Так как события А,В1,С1,С2 – работа элементов А,В1,С1,С2 совместны, то для вычисления вероятности суммы применяем формулу сложения для совместных событий, т.е.
Следовательно, вероятность работы цепи:
,
а вероятность разрыва цепи:
.
2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.
Р
е ш е н и е. а) Обозначим события:
–
студент сдаст
i-й
экзамен (i
= 1, 2, 3); А –
студент сдаст только второй экзамен из
трёх. Очевидно, что
Учитывая, что события независимы, получим
.
б) Пусть событие В – студент сдаст один экзамен из трёх. Очевидно, что
.
Применяя формулы сложения для несовместных и умножения для независимых событий, получим
в) Пусть событие С – студент сдаст все три экзамена, т.е.
Тогда
г) Пусть событие D – студент сдаст по крайней мере два экзамена, т.е.
и
д) Пусть
событие Е –
студент сдаст хотя бы один экзамен,
тогда противоположное событие
–
студент не сдал все три экзамена.
Очевидно, что
и
.
Тогда искомая вероятность
3. Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют города В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в А также через В?
Р
е ш е н и е. Число дорог из А
в В
три, т.е.
;
из В
в С
– четыре, т.е.
;
из С
в В
– четыре, т.е.
;
из В
в А
– три, т.е.
.
По правилу умножения общее число
способов:
.
4. В круге радиуса R наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.
Р
е ш е н и е. Обозначим событие: D – выбранная
точка находится внутри вписанного
правильного треугольника. По формуле
геометрической вероятности
,
где
– площадь
вписанного правильного треугольника;
S
– площадь окружности.
Итак, искомая вероятность:
.
5. В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
Р
е ш е н и е. Обозначим события:
– телевизор
поступил в торговую фирму от i-го
поставщика
;
А
– телевизор не потребует ремонта в
течение гарантийного срока. Вероятности
гипотез
и условные вероятности события А
для этих
гипотез равны
;
;
;
.
По формуле полной вероятности искомая вероятность
.
6. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит первому стрелку?
Р е ш е н и е. Обозначим события:
Н1 – оба стрелка попали в мишень;
Н2 – оба стрелка не попали в мишень;
Н3 – 1-й стрелок попал в мишень, 2-й не попал в мишень;
Н4 – 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал в мишень;
А – в мишени одна пробоина.
Найдём
вероятности гипотез
и условные вероятности события А
для этих гипотез
Теперь по формуле Байеса
7. Найдите наиболее вероятное число попаданий в мишень при пяти выстрелах и соответствующую этому числу вероятность, если вероятность попадания при каждом выстреле для данного стрелка равна 0,8.
Р
е ш е н и е. По условию n=5;
р=0,8;
.
Для нахождения наивероятнейшего числа,
воспользуемся формулой
Согласно этому неравенству
.
Единственное
целое число, удовлетворяющее полученному
неравенству,
,
а его вероятность по формуле Бернулли:
.
8. Два игрока поочерёдно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого первым выпадает 6 очков. Какова вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость первым?
Р е ш е н и е. Обозначим события:
А
– выигрыш
игрока, бросающего игральную кость
первым;
Аi
– выпадение
6 очков при i-м
бросании игральной кости
.
Имеем
;
при любом i.
Событие А
можно представить в виде:
Применим формулы суммы для несовместных и произведения для независимых событий, получим
По
формуле сумму бесконечно убывающей
прогрессии с первым членом
и знаменателем
имеем
Приложение 2