6.4. Стационарные процессы

Пусть X(t) – стационарный в широком смысле процесс, т.е. процесс, у которого m_x(t) = const и .

Из симметрии корреляционной функции следует, что , т.е. корреляционная функция стационарного процесса есть чётная функция аргумента .

Дисперсия стационарного процесса X(t) постоянна

.

Корреляционная функция случайного процесса обладает свойством:

.

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) равна:

.

Каноническое разложение стационарного процесса X(t) имеет вид:

, (6.1)

где – центрированные, некоррелированные случайные величины с попарно равными дисперсиями: .

Разложение (6.1) называется спектральным. Спектральному разложению стационарного процесса соответствует разложение в ряд ее корреляционной функции:

,

откуда

.

Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называется предел отношения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю. Спектральная плотность и корреляционная функция связаны преобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид:

; (6.2)

. (6.3)

Из последнего соотношения следует, что

. (6.4)

Формулы (6.2) и (6.3) называют формулами Винера – Хинчина. Формула (6.4) показывает, что плотность характеризует распределение дисперсии по частотам спектра.

Интегралы (6.2) и (6.3) можно записать в комплексной форме

;

.

Стационарная случайная функция X(t) называется случайной функцией с непрерывным спектром, если для неё существует спектральная плотность.

Белым шумом называется случайная функция X(t), любые два различные (сколь угодно близкие) сечения которой не коррелированы и корреляционная функция пропорциональна дельта-функции :

.

Величина G(t) называется интенсивностью белого шума. Стационарным белым шумом называется белый шум с постоянной интенсивностью G(t) = G = const.

Корреляционная функция стационарного белого шума имеет вид:

,

а спектральная плотность постоянна и равна

.

Дисперсия стационарного белого шума равна , т.е. бесконечна. Поэтому этот процесс является математической идеализацией, он не существует в природе. Однако белый шум удобен при разложении реальных процессов на более простые составляющие. Название «белый» возникло по аналогии с белым светом, у которого спектральный состав примерно однороден, а слово «шум» появилось исторически впервые в радиотехнике, где такие процессы означали наличие паразитных шумов в линиях радиопередач.

Стационарный процесс X(t) обладает эргодическим свойством, если его характеристики m_x, могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности. Достаточным условием эргодичности стационарной функции (по математическому ожиданию) является стремление к нулю её коррекционной функции при :

,

или

.

Пример. Пусть , где A, Z – независимые случайные величины. Случайная величина равномерно распределена на , т.е. плотность распределения вероятностей имеет вид

Найдём m_x(t) – математическое ожидание случайной функции X(t).

Имеем

.

Так как A и Z – независимы, то

Аналогично,

Значит и m_x(t) = 0.

Исследуем эргодичность по определению. Вычислим среднее по времени для одной реализации:

.

Это среднее стремится к нулю при для каждой реализации. Но m_x(t) тоже равно нулю. Следовательно, процесс X(t) эргодичен относительно математического ожидания.