6.3. Типы случайных процессов

Если классифицировать случайные функции X(t) по типу аргумента t, то различают два вида процессов:

1) процессы с дискретным временем, если аргумент t принимает дискретные значения (обычно t = 0,1,2…);

2) процессы с непрерывным временем, если аргумент t изменяется на некотором интервале.

По свойствам распределений можно выделить следующие типы случайных процессов.

1. Процессы с независимыми значениями – это случайные функции, у которых сечения есть независимые случайные величины.

Многомерные распределения случайного процесса с независимыми значениями полностью определяются одномерными распределениями, так как

2. Процессы с независимыми приращениями – это случайные функции X(t), у которых при любых t₀ < t₁ < … < t_n случайные величины независимы. У таких процессов обычно задают вероятностный закон приращений.

3. Процессы без последствия с дискретным пространством состояний – это марковские процессы, для которых

т.е. вероятность попасть в состояние X_i в момент t_i зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния X_i–1, в котором был процесс в предыдущий момент времени t_i–1. Марковские процессы с дискретным временем называют марковскими цепями. Распределение вероятностей марковского процесса полностью определяется двумерными распределениями сечений.

4. Стационарные в узком смысле процессы – процессы, у которых распределение вероятностей не меняется с течением времени. Это значит, что его многомерные распределения инвариантны относительно сдвига, т.е.

.

Для этих процессов одномерный закон распределения не зависит от времени, а двумерный зависит только от разности моментов времени , т.е.

5. Стационарные в широком смысле процессы – это процессы, у которых m_x(t) = const, D_x(t) = const,

Процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле, но не наоборот.

К стационарным процессам приводит изучение акустических явлений, а также некоторые задачи астрономии, геофизики, метеорологии.

Пример 1. Винеровский процесс (броуновское движение) определяется как процесс X(t), , удовлетворяющий условиям:

1) X(0) = 0 с вероятностью единица;

2) X(t) – процесс с независимыми приращениями;

3) приращения y(t) = X(t + h) – X(t) – имеют нормальный закон с математическим ожиданием M_y(t) = 0 и дисперсией .

Доказано, что с вероятностью единица реализации этого процесса непрерывны.

Пример 2. Пуассоновский процесс N(t), определяется условиями:

1)

2) N(t) – процесс с независимыми приращениями;

3) .

Доказано, что реализации пуассоновского процесса являются с вероятностью единица неубывающими ступенчатыми функциями с единичными скачками в случайные моменты времени.

Примеры пуассоновского процесса: число распавшихся атомов радиоактивного вещества за время t; число космических частиц, попавших на определенную площадку за промежуток времени t; число сбоев в сложной радиотехнической системе, состоящей из большого числа элементов, каждый из которых с малой вероятностью может отказать в единицу времени, независимо от состояний других элементов, N(t) есть число сбоев за время t; в потоке заявок на АТС N(t) – это число вызовов за время t.

Винеровский и пуассоновские процессы являются марковскими процессами, так как – это процессы с независимыми приращениями и .