Глава 6. Элементы теории случайных процессов

Теория случайных процессов (случайных функций) – это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.

6.1. Определение случайной функции

Понятие случайной функции (случайного процесса) является обобщением понятия случайной величины, рассмотренной в главе 2.

Определение. Случайной функцией называется функция, значение которой при данном значении аргумента (или нескольких аргументов) является случайной.

Другими словами, случайная функция представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее.

Случайную функцию можно записать в виде функции двух переменных , где , и – элементарное событие,  – пространство элементарных событий, Т – множество значений аргументa t, G – множество возможных значений . Если роль параметра t играет время, то случайную функцию называют случайным, или стохастическим, процессом.

Реализацией (траекторией) случайной функции называется функция аргумента t, в которую превращается случайная функция при фиксированном элементарном событии , т.е. .

При фиксированном t = t₀ значением случайной функции является случайная величина , которая называется сечением.

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если фиксировать значение аргумента t, то случайная функция превращается в обычную случайную величину; если же фиксировать , то в результате каждого испытания она превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент , но он будет подразумеваться по умолчанию, и будем обозначать случайные функции прописными буквами латинского алфавита, например X(t), Y(t), Z(t) и т.д., где t – аргумент случайной функции. Реализацию будем обозначать соответствующими малыми буквами x(t), y(t), z(t) и т.д.

Приведем несколько примеров случайной функции.

Пример 1. При передаче сигнала по радиоканалу в приемник радиоканала будут поступать вместе с полезным сигналом также различные помехи, которые являются случайными функциями времени.

Пример 2. Температуру воздуха в различных точках атмосферы можно рассматривать как случайную функцию четырех аргументов x, y, z и времени t.

Пример 3. Гармонические колебания

где , , – случайные величины.

Каждая реализация

представляет собой косинусоиду.

6.2. Законы распределения и числовые характеристики случайной функции

Пусть дана некоторая случайная функция X(t). Зафиксируем какое-либо значение аргумента t = t₁ и рассмотрим значение случайной функции X(t). Согласно определению случайной функции, величина есть случайная величина, поэтому она может быть охарактеризована функцией распределения (плотностью или рядом распределения), т.е.

Индекс 1 указывает на то, что имеем дело с одномерным законом распределения, а t₁ указывает, что закон распределения случайной величины может зависеть от времени t₁.

Двумерной функцией распределения называется совместная функция распределения двух сечений и :

Таким образом, случайная функция считается заданной, если заданы совместные законы распределения любых ее сечений , ,…, .

Как и случайная величина, случайная функция может быть описана числовыми характеристиками.

Определение. Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции X(t), т.е. .

Математическое ожидание m_x(t) представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются реализации случайного процесса. Иногда математическое ожидание обозначают m(t).

Определение. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция D_x(t), при любом значении аргумента t равная дисперсии соответствующего сечения случайной функции X(t), т.е. .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной функции X(t) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е. .

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной функции характеризуют разброс реализаций относительно средней траектории.

Зависимость между сечениями характеризуется корреляционной функцией.

Определение. Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений и случайной функции, т.е.

Корреляционная функция характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между сечениями, но и разброс этих сечений относительно m_x(t). Поэтому рассматривается также нормировочная корреляционная функция случайной функции.

Определение. Нормировочной корреляционной функцией случайной функции X(t) называется

Отметим основные свойства числовых характеристик случайной функции:

 Пусть Y(t) = a(t)X(t) + b(t), где a(t) и b(t) – неслучайные функции. Тогда

m_y(t) = a(t)m_x(t) + b(t).

.

.

При t₁ = t₂ .