§3. Преобразования Лоренца.

Задача преобразований: получить формулы, позволяющие переходить от одной системы отсчета к другой с учетом постоянной скорости света во всех инерциальных системах отсчета.

Полагая преобразования линейными и учитывая, что координаты должны одновременно обращаться в ноль, для осей координат, перпендикулярных движению (см. рис. §1), получим:

,

где α – коэффициент преобразования.

Поскольку системы отсчета равноправны, то

знак «+» отвечает за одинаковое направление осей, «–» – за противоположно направленные оси.

Для оси Ox: и с учетом того, что скорость u для системы отсчета К направлена в обратную сторону.

Пусть в начальный момент времени t = t' = 0 начала координат совпадали, и в это время происходит вспышка света в начале координат, то через некоторое время свет достигнет экрана, координаты которого в своих СО равны

(для системы K)

(для системы K')

Перемножив эти выражения, получим

,

где – относительная скорость в системе координат по отношению к скорости света.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Из (1) и (2) можно получить связь t и t':

(7) (8)

Полученные формулы (1) – (8) называются преобразованиями Лоренца, они позволяют переходить из одной системы отсчета в другую, в том числе и при скоростях, близких к скорости света. Отличительной особенностью этих уравнений является то, что они переходят в преобразования Галилея для скоростей, много меньших скорости света.

§4. Следствия из преобразований Лоренца.

4.1. Сокращение длины.

Пусть в собственной системе отсчета длина стержня . Найдем, какой будет длина этого стержня в неподвижной СО, если стержень расположен вдоль оси x и движется в этом направлении со скоростью u. Тогда имеем

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой он покоится.

4.2. Собственное время частицы.

Собственное время – это время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с частицей, то есть частица неподвижна по отношению к часам.

Обозначим собственное время частицы. Тогда из преобразований Лоренца получим:

Это означает, что длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Однако замедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света.

4.3. Интервал

Оказалось, что природа устроена так, что размеры предметов и промежутки времени не являются абсолютными (хотя в это и трудно поверить), а зависят от того, с какой скоростью предметы движутся. При этом остается вопрос: а есть ли величины, которые не зависят от выбора системы отсчета (такие величины называются инвариантами). Ответ: да, есть, и некоторые нам уже известны – это скорость света в вакууме и ускорение. Но есть и другие.

Из векторной алгебры известно, что длина вектора не зависит от выбора системы координат (а проекции вектора – зависят!). Оказалось, что построенная по аналогии с модулем вектора величина – интервал в 3^х – мерном пространстве – инвариантом не является. Не оказывается инвариантом также и построенный по аналогии интервал в 4^х-мерном пространстве: .

Инвариантом будет интервал – интервал в 4^х-мерном пространстве-времени. Действительно,

,

где – собственное время частицы (является одинаковым во всех ИСО).

– расстояние, которое проходит частица за время с постоянной скоростью.

– инвариантно по отношению к выбору системы отсчета.

4.4. Сложение скоростей в релятивистской механике

В системе К: ; ; ; в К´: ;

Используя преобразование Лоренца, можно получить связь между этими скоростями.

Продифференцировав преобразования Лоренца:

, , , ,

получим:

; .

Разделив 1, 2 и 3-е выражения на 4–ое получим формулы преобразования скоростей при переходе из одной системы отсчета в другую:

; ;

;

Эти формулы в релятивистской механике (СТО) заменяют закон сложения скоростей в классической механике.

Можно проверить, что скорость света «с» в любой СО окажется равной «с» вне зависимости от скорости самой системы отсчета. (Проверить самостоятельно, подставив .)