3 Вказівки щодо проектування зонових мереж зв'язку з

КОМУТАЦІЄЮ ПАКЕТІВ

3. 1 Синтез оптимальних топологій зонових мереж зв'язку

1. Алгоритм Прима для синтезу найкоротшого дерева Найкоротшим деревом (нкд) графа g з n вершинами називається його

однозв'язний частковий граф G' з N -1 ребрами, що не утворюють циклів і мають мінімальну сумарну довжину [1 - 3].

Одним з найпоширеніших алгоритмів знаходження найкоротшого дерева є алгоритм Прима [1, 2]. В матричній формі покрокова робота цього алгоритму, основана на перетвореннях матриці відстаней L, може бути описана наступним чином.

Крок 1. Виписується рядок матриці L, що містить елемент із мінімальною вагою, наприклад, l₁₁, без відповідного йому стовпця, що

відповідає організації зв'язку від вершини V1 до всіх інших.

Крок 2. Вибирається в цьому рядку мінімальний елемент, наприклад,

^l1,k.

Крок 3. Викреслюється k -й стовпець матриці L і, рухаючись по k -му рядку цієї матриці, порівнюються значення приведених в ній елементів з їхніми значеннями, приведеними у виписаному рядку цієї матриці без першого і k -го стовпців. Якщо значення якого-небудь елемента k -го рядка у відповідному стовпці має менше значення, ніж зазначене у виписаному рядку, то це значення заноситься в нього з вказівкою того, відкіля взяте це значення. В результаті формується новий виписаний рядок.

Кроки 2-3 повторюються доти, поки не буде обране N -1 ребро найкоротшого дерева.

Перевага алгоритму Прима полягає в простоті реалізації процедури побудови НКД як при обчисленнях ручним способом, так і за допомогою ЕОМ.

Приклад використання алгоритму Прима для синтезу топології мереж у вигляді найкоротшого дерева наведено в додатку Г.

2. Алгоритм Літтла для синтезу найкоротшого гамільтонова циклу Найкоротшим гамільтоновим циклом (нкгц) графа g називається його

частковий граф G' у виді ненаправленого шляху m _t з мінімальною сумарною

довжиною L(m₀p_t), що проходить через усі вершини графа G таким чином, що

початкова і кінцева вершини збігаються [3].

Задача синтезу НКГЦ також має назву задачі комівояжера [3], який, виїжджаючи з деякого пункту, повинний побувати в кожнім з N -1 інших пунктів рівно один раз і повернутися у вихідний пункт, проїхавши найменшу сумарну відстань.

Слід зазначити, що ця задача є комбінаторною, оскільки число можливих маршрутів експоненційно залежить від числа вершин N графа G. Вона належить до класу так званих NP - повних задач, що не можуть бути вирішені за допомогою алгоритмів, кі мають поліноміальну складність обчислень. Крім того, ця задача не може бути безпосередньо сформульована і вирішена як задача лінійного програмування. Вона відноситься до класу потокових задач у силу історично сформованого зв'язку між методами їхнього рішення та у силу її графічного представлення як задачі про оптимальний маршрут.

Алгоритм Літтла [3], що реалізує метод гілок і границь для рішення цієї задачі, полягає в наступному. Для його роботи вихідними даними є довжини

ребер графа G між N його вершинами, що утворюють матрицю L = j порядку N, елемент l_i j якої дорівнює довжині ребра між i -ю та j -ю вершинами, а при відсутності останнього або при i = j йому привласнюється нескінченне значення. Маршрут m представляється як безліч з N у^пор^яд^{кованих па}р ^вер^{шин: m} = V₂^J(Vi₂^,Vi₃ Ji.^{vi_N^vi_N ^J(^vi_N^,vi₁^{кожна з} який є його ланкою. Довжина L(m) маршруту m дорівнює сумі відповідних

цим ланкам елементів матриці відстаней: L(m) = У j . Очевидно, що для

⁽V j т

будь-якого припустимого маршруту кожен рядок і кожен стовпець матриці L містять рівно по одному елементі, що відповідає цьому маршруту. Тому для перебування оптимального (мінімального) маршруту m_opt необхідно вибрати

рівно один мінімальний елемент у кожнім рядку і кожнім стовпці матриці L.

Замість того, щоб одночасно визначати усі ланки оптимального маршруту за допомогою матриці L, на кожному n -му кроці роботи алгоритму Літтла будується одна ланка оптимального маршруту. При цьому виконуються різні перетворення матриці L, пов'язані з послідовною розбивкою множини M всіх можливих маршрутів на усе більш дрібні підмножини. Ці підмножини можна розглядати як вузли дерева, а процес розбивки - як розгілення цього дерева. Тому реалізований алгоритмом Літтла метод називається методом пошуку по дереву рішень або методом гілок і границь.

Основними процедурами алгоритму Літтла є обчислення нижніх границь довжин маршрутів, визначення субоптимальних рішень і розгілення з метою одержання нових (більш коротких) маршрутів, що дозволяє в кінцевому рахунку визначити оптимальний маршрут. Розглянемо докладніше ці процедури.

Обчислення нижніх границь

Для обчислення нижньої границі довжини L_n (m_n) поточного маршруту m_n на кожному n -му кроці роботи алгоритму використовується поняття редукції поточної матриці L_n відстаней, що полягає в наступному. Якщо з

кожного елемента деякого рядка поточної матриці L_n відстаней відняти постійну величину а, то довжина будь-якого маршруту, що обумовлена новою матрицею, буде менше довжини того ж маршруту, що обумовлена старою матрицею, на величину а. Дане твердження справедливе тому, що кожному маршруту відповідає рівно один елемент даного рядка. Однак відносні довжини всіх маршрутів залишаться незмінними. Отже, при переході від вихідної матриці відстаней до нової залишаться незмінними і всі оптимальні маршрути. Очевидно, що аналогічне твердження справедливе і для елементів стовпців матриці відстаней, якщо з кожного елемента деякого стовпця матриці відстаней відняти постійну величину Р .

Процедури вирахування з кожного елемента і -й рядка найменшого елемента а_і цього ж рядка і з кожного елемента j -го стовпця найменшого

елемента Pj цього ж стовпця називаються редукцією рядків і редукцією

стовпців відповідно. Матриця L"_n, що вийшла в результаті такого перетворення, з ненегативними елементами , у кожнім рядку і кожнім стовпці якої міститься принаймні один нульовий елемент, називається скороченою матрицею відстаней. Якщо L_n (m_n) - довжина маршруту m_n, обумовлена

поточною матрицею L_n відстаней до виконання редукції, L"_n (m_n) - довжина

- сума всіх констант, використовуваних при обчисленні скороченої матриці L "_n, те

того ж маршруту, обумовлена скороченою матрицею L "_n і

Оскільки скорочена матриця L"_n відстаней містить тільки ненегативні елементи, то y_n є нижньою границею довжини маршруту m_n для нескороченої поточної матриці L_n відстаней.

2 Визначення субоптимальних рішень і розгілення

Для виділення субоптимальних рішень по скороченій матриці L"_n відстаней доцільно вибирати ланка нульової довжини, а потім послідовно додавати ланки нульової чи мінімальної довжини. Дана процедура заснована на двох основних твердженнях. По-перше, якщо вибирається ланка (v_i, Vj), то

рішення не повинне містити інших ланок, що відповідають елементам i -й чи рядка j -го стовпця. По-друге, якщо ланка (v_i,Vj) можна виключити з

остаточного рішення, те його можна не розглядати при виконання наступні обчислень. Отже, для кожної ланки досить розглянути наступні два випадки. У першому з них ланка включається в поточне (субоптимальне) і всі наступні (субоптимальні) рішення, поки визначається маршрут. В другому випадку ланка виключається з подальшого розгляду.

Процес розбивки множини всіх маршрутів на непересічні підмножини може бути представлений у виді розгілення дерева, як показано на рис. 3.1. Вузол з позначкою «усі маршрути» відповідає множині всіх маршрутів. Вузол з позначкою (i, j) відповідає множині «усіх маршрутів», що містять ланку

(vj, v j). Вузол з позначкою (i, j) відповідає підмножині «усіх маршрутів», що не містять ланку (vj,vj). На рис. 3.1 подальше розгілення з вузла (i,j) не вказується. Вузол з позначкою (k,l) відповідає усім маршрутам. що містять обидві ланки (i, j) і (k, l) . Як і раніше, вузол з позначкою (k, l) відповідає всім маршрутам, що містять ланку (v_i, v j), але не містять ланки (vk, vi).

Ціль розгілення можна пояснити в такий спосіб: якщо здійснюється розбивка множини всіх маршрутів на усе більш дрібні підмножини, то зрештою буде отримана підмножина, яка містить один єдиний маршрут. Ланки, або пари вершин, що утворять цей маршрут, можуть бути відновлені, якщо рухатися по дереву в зворотному напрямку, тобто до початкового вузла (з позначкою «усі маршрути»). Процес розгілення виконується на основі порівняння нижніх границь. Якщо на якомусь n -м кроці алгоритму нижня границя довжин маршрутів з однієї підмножини перевершує нижню границю, яка відповідає іншій підмножині, то перша підмножина можна виключити з розгляду на наступному n +1 - кроці. Іншими словами, розгілення з відповідного вузла не виробляється.

Припустимо, що з деякого вузла X дерева рішень виходять дві гілки, і розглянемо кінцеві вузли цих гілок. Тоді той вузол, що відповідає підмножині маршрутів, які містять нову ланку, будемо позначати через Y, а вузол, що відповідає підмножині маршрутів, які не містять нової ланки, будемо позначати через Y .

Рисунок 3.1 - Процес розгілення при побудові підмножин

Ціль розгілення полягає в розбивці безлічі маршрутів X на дві таких підмножини Y і Y, що найкращий маршрут з X найбільше ймовірно міститься в Y і найменш ймовірно в Y . Як відзначалося вище, у першу чергу в підмножину Y повинні включатися маршрути, що містять ланки (v_i, Vj), для

яких елементи скороченої матриці L"_n дорівнюють нулю. Однак у кожнім рядку і кожнім стовпці цієї матриці може міститися не один нульовий елемент. Питання полягає в тім, яке з відповідних їм ланок варто включити в підмножину Y . Для того, щоб відповісти на дане запитання, розглядаються маршрути, що можуть бути включені в у підмножину Y, тобто маршрути, які не містять ланку (v_i, Vj). Оскільки вершина Vi повинна бути зв'язана з деякою

іншою вершиною, те кожен маршрут з підмножини Y повинний містити ланка, довжина якого не менше мінімального елемента i -го рядка скороченої матриці L"_n, не вважаючи елемента, що відповідає ланці (v_i,Vj). Відповідну відстань

позначимо через . Оскільки необхідно, щоб у вершину vj можна було б

потрапити з деякої іншої вершини, те кожен маршрут з підмножини Y містить ланку, довжина якої не менше мінімального елемента j -го стовпця скороченої

матриці L"_n, не вважаючи елемента, що відповідає ланці (v_i,Vj). Позначимо цю відстань через jj, а суму величин Е_)і і jj - через є_і j . Величини є_і j звуться вторинними штрафами. Якщо ланка (v_i,Vj) не включається в можливий маршрут, то ланка, що відповідає деякому іншому елементу i -й рядка скороченої матриці L"_n, і ланка, що відповідає деякому іншому елементу її j - го стовпця, повинні входити в остаточний маршрут. Величина єj дорівнює

мінімальному штрафу, якщо не включати ланки (v_;-, Vj) в оптимальний

маршрут. Якщо цей штраф обчислити для всіх ланок, яким відповідають нульові елементи скороченої матриці L "_n, то можна порівняти відповідні значення s_i j і включити в поточний маршрут ланку (V_i, Vj), за невикористання якого платився б максимальний штраф. Очевидно, що вибір ланки (V_i,Vj), що

відповідає максимальному штрафу, дозволяє визначити нову підмножину Y маршрутів, які не містять цієї ланки. Нижня границя L(Y) для відповідної йому гілки дерева повинна бути обрана таким образок, щоб вона не перевершувала довжини жодного з маршрутів, які не містять ланки (V_i, Vj). Дана вимога буде

виконано, якщо нову нижню границю L_n (Y ) покласти рівній сумі попередньої нижньої границі L_n_₁(Y) і максимального штрафу за невикористання ланки (V,, Vj.):

причому для визначення max s, j досліджуються всі нульові елементи

скороченої матриці L"_n . Слід зазначити, що s, j = 0 для всіх ланок (v,, Vj),

яким відповідають ненульові елементи скороченої матриці L "_n .

Перед тим як визначити нову нижню границю L_n (Y) для підмножини Y маршрутів, які містять ланку (v,, Vj), необхідно виконати перетворення

скороченої матриці L "_n . Відзначимо, що коли ми включаємо в маршрути деяку

ланка (v,, Vj), то надалі можна не розглядати i -й рядок і j -й стовпець цієї

матриці. Далі, якщо ланка (v_i,Vj) вже належить деякому маршруту з

підмножини Y, то ланка (Vj, V_i) на наступних кроках не може належати

маршруту з Y. Виконання даної умови можна досягти, дорівнюючи да на всіх наступних кроках алгоритму елемент поточної матриці відстаней, що відповідає ланці (Vj, V_i). Крім того, можуть існувати інші ланки, за допомогою

яких надалі також можуть бути утворені підмаршрути - цикли, які включають у себе неповну множину вершин вихідного графа G. Ці ланки називаються забороненими. Їх можна виключити з розгляду, дорівнюючи елементи матриці L "_n, що відповідають довжинам цих ланок, також рівними да.

Після проведеного перетворення скороченої матриці L"_n виходить нова поточна (для n +1 -го кроку) матриця L_n+l відстаней, з якою знову виконується процедура редукції і по формулі (3.1) обчислюється нове значення y_n+1. Нижня границя L_n+1(Y) для підмножини Y при цьому може бути тепер обчислена у виді

Виконуючи аналогічні обчислення для n = 1, N, розгілення повинне

здійснюватися з вузлів з найменшою нижньою границею. Побудований у результаті повний маршрут є оптимальним, якщо його довжина не перевершує довжини будь-якого маршруту, який відповідає іншим ланкам дерева. Однак, якщо нижня границя для вузла (i, j) дерева менше довжини побудованого маршруту, те необхідно досліджувати підмножина маршрутів, що не містять ланку (v_;, v j). Поточна матриця відстаней при цьому буде збігатися з матрицею

відстаней, яка була до етапу розгілення з вузла з позначкою (i, j). Однак, для того, щоб виключити всі маршрути, які містять ланку (v_;, Vj), що відповідає

значенню елемента цієї матриці приймається рівним да. Далі з цією новою матрицею виконуються описані вище процедури побудови границь і розгілення. Цей процес аналізу попередніх проміжних крапок розгілення, що могли б визначити більш короткий маршрут, називається поверненням.

Приклад використання алгоритму Літтла для синтезу топології мережі у вигляді найкоротшого гамільтонова циклу наведено в додатку Д.

3.1.3 Синтез топології мереж методом М-структур

Однієї з задач синтезу топології мереж є побудова двозв'язного графа мережі з мінімальною сумарною довжиною ребер. Для рішення цієї задачі використовується метод М-структур [2], у якому топологія мережі синтезується в два етапи:

Етап 1. На множині всіх вузлів мережі будується частковий граф G' мережі у вигляді найкоротшого дерева (НКД). Для рішення цієї задачі можна використовувати алгоритм Прима. Отриманий у результаті частковий граф G' мережі є однозв'язковим, у час як за умовами надійності потрібно, щоб топологія мережі була, як мінімум двозв'язною і не містила "висячих" вершин і ребер зчленування. Тому виконується перехід до етапу 4.

Етап 2. Визначається множина усіх кінцевих вершин часткового графа G', що утворять його підграф G". Для них будується найкоротший гамильтонів цикл (НКГЦ). Для рішення цієї задачі можна використовувати алгоритм Літтла.

У результаті об'єднання найкоротшого дерева і найкоротшого гамільтонова циклу виходить так називана М-структура, для якої виконується умова зв'язності M > 2.

3.2 Визначення множини шляхів та їх перерізів методом побудови дерева

Визначення множини шляхів на графі мережі може бути виконано методом побудови дерева шляхів [4] з фіксованої вершини-джерела v_s (кореня дерева) до інших вершин-стоків графа.

Для побудови дерева шляхів необхідно насамперед визначити "яруси" дерева. На ярусі R = 0 міститься вершина-джерело — "корінь" дерева. На ярусі R = 1 розміщаються вершини, суміжні вершині-джерелу, тобто вершини, шляху в який з вершини-джерела мають ранг, що дорівнює одиниці. На ярусі R = 2 розміщаються вершини, суміжні вершинам, розміщеним на ярусі R = 1 і т.п..

При записі вершини на ярус R = 2 і наступні яруси необхідно стежити за тим, щоб створювані шляхи рангів 2, 3 і т.п. були простими (самонепересічними), тобто щоб жодна вершина на шляху не повторювалася більш одного разу.

Максимальне значення ярусу (рангу шляху) дорівнює R_max = N-1 (N - кількість вершин графа).

Дерево шляхів містить усі шляхи з фіксованої вершини — джерела в усі інші вершини. При цьому на ярусі 1 містяться всі шляхи першого рангу, на ярусі 2 — усі шляхи другого рангу і т.п.

Таким чином, на деякому k-му ярусі міститься інформація про всі шляхи k-го рангу з фіксованої вершини-джерела графа в інші вершини.

Множину шляхів M_{s t} від вершини - джерела v_s до вершини - стоку v_t

можна записати як диз'юнкцію кон'юнкцій символів ребер (дуг), що утворять кожний із шляхів розглянутої множини.

Перерізи П_st = \r^l_st,l = 1,Lj множини шляхів від вершини - джерела v_s до вершини - стоку v_t , визначаються за наступним алгоритмом, заснованому на знаходженні двійчастої булевої функції. Для цього:

• кожен додаток множини шляхів у булевій форма укладається в дужки та всі знаки диз'юнкції заміняються знаками кон'юнкції та навпаки (знаходиться двійчаста булева функція);

• розкриваються всі дужки відповідно до законів булевої алгебри.

Кожен додаток отриманого виразу буде представляти одне з можливих

перерізів tt¹_{s t} їх множини П_st = \r^l_st,l = 1,L j.

Приклад використання методу побудови дерева для визначення множини шляхів наведено в додатку Е.

3.3 Аналіз структурної надійності мереж

Для мереж зв'язку, що є складними багатофункціональними системами, що складаються з елементів, різнорідних по своїх властивостях, показникам надійності, призначенню, даті виготовлення, терміну введення в експлуатацію і т.п., можна виділити два основних аспекти надійності [4]: апаратурний і структурний. Під апаратурним аспектом розуміється проблема надійності апаратури, окремих пристроїв і їхніх компонентів, включаючи канали і лінійні тракти, тобто окремих елементів, що входять у вузли і лінії (ребра) мережі. Структурний аспект зв'язаний з можливістю існування в мережі шляхів доставки інформації між заданою парою пунктів (вузлів), тобто розглядає надійність зв'язку між цими пунктами, вважаючи, що відомі надійності показники ребер і вузлів.

При зв'язку між вузлами (пунктами) v_i і vj в інформаційній мережі

використовуються всі можливі або, які шляхи обрані по якій-небудь ознаці

їхньої множина M_t j. Кожен шлях m^kj (k-й шлях з множини шляхів від v_i до

Vj) складається з ребер і вузлів, через які він проходить. Під показником

структурної надійності цього шляху розуміється ймовірність того, що даний шлях у довільний момент часу знаходиться в працездатному стані, тобто

коефіцієнт готовності к_г (m^kj). Це означає, що працездатними повинні бути всі ребра uі ^ і вузли v_r, що входять у цей шлях. Структурна надійність зв'язку [4] від v_i до Vj оцінюється імовірністю справного стану хоча б одного шляху з

безлічі M_i j , тобто коефіцієнтом готовності к_г (M_i j ).

Розглянемо розв'язання задачі визначення структурної надійності зв'язку в мережі між вузлами v_i і vj, якщо відома множина M_t j шляхів, які можуть

бути використані для цього зв'язку, і задана надійність усіх ребер мережі, які утворюють ці шляхи.

Якщо окремі елементи шляху (їхні чи ділянки ребра) утворюють паралельно - послідовну структуру, тобто з'єднані послідовно або паралельно, то можна використовувати звичайні методи розрахунку надійності структур з таким з'єднанням елементів [4]. При послідовному з'єднанні ребер u^ ^ з

коефіцієнтами готовності к_г (u^) можна скористатися формулою

Одним з методів розрахунку надійності зв'язку між вузлами v і v j для

складної структури є метод послідовного розкладання топології мережі [4], заснований на тій властивості, що структурна надійність графа мережі (рис. 3.2), яка включає ребро u_lm з коефіцієнтом готовності к_г(u_{l m}), дорівнює

де к_г (Mj j / u_{l m} = 1) - надійність зв'язку, у якому u_{l m} = 1, тобто злиті

^ву^{зли v}l ^{і v}m ;

к_г (M_t j / щ _mm = 0) - те саме для мережі при u_{l m} = 0, тобто з мережі вилучене ребро u_{l m}.

Розкладання (винос ребер) виконується доти, поки топології, що залишилися, не будуть паралельно-послідовними. Якщо після розкладання по одному ребру отримані структури залишаються містковими, то їх розкладають далі. Не можна розкладати структуру по спрямованому ребру, якщо при його заміні ненаправленим ребром з'являються нові шляхи.

Метод послідовних розкладань дозволяє визначити потенційну надійність зв'язку між заданими вузлами у виді функції або числового значення.

Приклади аналізу структурної надійності мереж наведені в додатку Є.

3.4 Знаходження множини шляхів при оптимальній маршрутизації в мережах на основі алгоритму Дейкстри

Суть алгоритму Дейкстри полягає в наступному [1]. Якщо при рішенні задачі вибору найкоротшого шляху mi ] від вершини Vi до вершини V] вже

Якщо ж у графі G мережі маються місткові з'єднання (рис. 3.2), то ці методи використовувати не можна [4].

Рисунок 3.2 - Граф мережі з містковими з'єднаннями

знайдені найкоротші шляхи до деяких n вершин графа мережі, то на

наступному кроці рішення цієї задачі має бути знайдена (n +1) -а вершину, яка пов'язана з вершиною Vj найкоротшим шляхом.

«Позначимо» вершину v_j та n вершин графа, які знайдені на попередньому кроці, а також всі ребра, що складають найкоротші шляхи від

вершини V до цих вершин. Очевидно, що найкоротший шлях від вершини Vj

до наступної (n +1) -ї вершини, який має бути вибраний, повинен проходити по «позначеним» вершинам і бути продовженням найкоротшого шляху від вершини Vj до однієї з «позначених» вершин. Тому із всіх «непозначених» вершин в якості (n +1) -ї може бути обрана лише та, котра досяжна принаймні з однієї «позначеної» вершини з використанням шляху рангу 1. З множини таких вершин залишається і «позначається» та вершина v_k, від якої забезпечується найкоротший шлях до вершини Vj. Якщо k ф j, то з тих же передумов здійснюється пошук (n + 2) -ї вершини.

У ході виконання алгоритму Дейкстри кожній вершині Vk привласнюється вага w_k, яка дорівнює довжині d_j к найкоротшого шляху від вершини V_j до вершини Vk. При цьому покроковий опис алгоритму має наступний вигляд.

Крок 1. «Позначимо» вершину V_j й привласнимо їй вагу w_j = 0, а ваги інших вершин приймемо рівними деякому максимально можливому значенню. Крок 2. Приймемо номер вершини n = i.

Крок 3. Для кожної «непозначеної» вершини Vk обчислимо нове значення

ваги

Крок 4. Перевіримо умову: вага w_k менше його максимально можливого значення. Якщо ця умова виконується, то «позначаємо» вершину Vk з мінімальним значенням w_k і переходимо до кроку 5. У протилежному випадку алгоритм закінчує роботу, оскільки найкоротшого шляху від вершини Vj до вершини Vj в графі даної мережі не існує.

Крок 5. Приймемо номер вершини n = k.

Крок 6. Перевіримо умову: номер вершини k = j. Якщо ця умова виконується, то найкоротший шлях від вершини V_i до вершини Vj знайдений і

до нього входять «позначені» вершини. У протилежному випадку переходимо до кроку 3.

Представлений алгоритм можна використовувати для знаходження найкоротших шляхів від деякої фіксованої вершини Vj до всіх інших вершин, якщо на кроці 6 перевіряти, чи є «непозначені» вершини. При відсутності таких

вершин алгоритм закінчує роботу. У протилежному випадку переходимо до кроку 3.

Приклад використання алгоритму Дейкстри для оптимальної маршрутизації в мережах зв'язку наведено в додатку Ж.

3.5 Вибір пропускних спроможностей (ВПС) каналів мереж з комутацією пакетів

3.5.1 Постановка задач ВПС

Задачі вибору пропускних спроможностей (ВПС) мережних каналів {C_i }, що формулюються в такий спосіб [5, 6]. Задані: топологія мережі у вигляді графа G(V,U) з N вузлами та M каналами, інтенсивності зовнішніх потоків пакетів {уj _к}, інтенсивності внутрішніх потоків пакетів {Л_і}. Необхідно за рахунок зміни пропускних спроможностей каналів {C_i} мінімізувати середню затримку пакетів в мережі T при обмеженні на вартість мережі

M M

E = ^ E_i (Cj) < Е_з або мінімізувати вартість мережі E = ^ E_i (C_i) при

i=1 i=1

обмеженні на середню затримку пакетів у ній T < Tз.

При їх розв'язанні використовуються характеристики багатополюсних мереж черг пакетів. Багатополюсна модель мережі черг пакетів має N вузлів (полюсів) і M каналів між ними. Вважатимемо, що в каналах помилки та апаратні відмови відсутні, а пропускна спроможність i -го каналу дорівнює C_i біт/с.

Кожен канал може мати чергу на вході, у силу чого можливі затримки при передачі повідомлень. Трафік, що надходить у мережу з зовнішніх джерел, утворює пуасонівський потік із середнім значенням у j _к пакетів у секунду, що

виникають у вузлі v j і призначені для передачі до вузла v_k.

Коефіцієнт інформаційного тяжіння між j -м і k -м вузлами визначається виразом

Інтенсивність зовнішнього потоку у j k, що виходить з вузла Vj до вузла v_k, у загальному випадку є функцією інтенсивності зовнішнього потоку yj, який формується абонентами j -го вузла, і коефіцієнта інформаційного тяжіння між цими вузлами qj _к:

де q ⁾ - коефіцієнт інформаційного тяжіння за навантаженням:

qj'к ⁾ - коефіцієнт інформаційного тяжіння за відстанню:

_q (г к). _q ih^,к)

j = к₎ ^jк₎ ^,к=і^{N, к} *^{j, (3}-¹⁰⁾ Sq %⁾- q^j)

к=1

qj£ ⁾=4^к~, к = 1N , к* j ; (3.11)

S 7 к к=1 к* j

q^j ) = Лък)__, о < а < 1, к = 1, N , к* j , (3.12)

Sj)"

\-a

¹ j,к,

к=1 к * j

де ij _к - відстань між j -м і к -м вузлами

Сумарна інтенсивність зовнішніх потоків пакетів, що входять до мережі:

Довжини всіх пакетів вважаються незалежними і розподіленими за показниковим законом із середнім значенням n = 1/ % біт . Для розміщення цих пакетів у мережному вузлі існує накопичувач (черга) необмеженого обсягу. Пакети направляються мережею від вузла-джерела до вузла-одержувача відповідно до фіксованої процедури вибору маршрутів.

Якщо пакет має середню довжину n біт, то час, протягом якого він займає i -й канал, буде 1/ ^ = n / C_i = 1/ %C_i с. Кожен канал у мережі розглядається як окремий обслуговуючий прилад. Позначимо через A_i середню кількість пакетів за секунду, що проходять по i -му каналу.

Позначимо через mj к шлях, яким передаються пакети з вузла Vj у вузол

де і_{j к} - відстань між j -м і к -м вузлами

Сумарна інтенсивність зовнішніх потоків пакетів, що входять до мережі:

Vk (зовнішній поток пакетів інтенсивністю y_i к). Канал з номером i із пропускною спроможністю C_i включено у шлях mj к, якщо пакети, що передаються цим шляхом, проходять зазначений канал, тобто C_i є mj к. У такому випадку інтенсивність внутрішнього потоку A_i у i -му каналі повинн

а

бути дорівнює сумі інтенсивностей потоків викликів по всіх шляхах, що проходять через цей канал:

Інтенсивність повного внутрішнього трафіку в мережі:

Затримка пакета визначається як повний час, що він проводить у мережі. Найбільший інтерес являє середня затримка пакета T, яка належить до основних характеристик мережі з комутацією пакетів.

Позначимо через Tj,k затримку пакета, який увійшов у вузол vj і передається у вузол v_k. Тоді ці дві середні величини зв'язані виразом

у якому у j _к / у - частка повного вхідного трафіка, що має затримку, яка дорівнює T j,k .

Вираз (3.16) являє розкладання мережі по парам «джерело-отримувач».

Розглянемо затримку T (3.16). Тому що Tjk являє собою суму середніх затримок пакета при передачі його за різними каналами шляху mj _к, то

де T - середній час (середня затримка), що провів пакет у каналі і.

Величина T визначається як середній час, що витрачений на очікування і передачу пакета по і -му каналу. З урахуванням цього з (3.16) знаходимо:

Змінюючи порядок підсумовування, отримуємо:

Використовуючи (3.16) - (3.19), знаходимо:

Середня затримка пакетів для i -го каналу визначається виразом Підставивши (3.21) у (3.20), остаточно одержуємо:

Крім вказаних характеристик багатополюсних мереж черг пакетів Л. Клейнрок [6] ввів також поняття довжини (рангу) Rj _к шляху m j _к, що

обумовлений числом каналів у ньому. Середня довжина шляху в мережі:

Частка трафіка у j _к в повному внутрішньому трафіку мережі Я є у j _k / Rj _k, тому що уj _k пакетів за секунду пройдуть Rj _k ділянок при доставці по мережі. Отже,

Тому

В додатку З.1 наведено приклад постановки задачі ВПС каналів зонової (централізованої) мережі зв'язку

.3.5.2 Вибір пропускних спроможностей каналів за критерієм мінімуму середньої затримки пакетів в мережі при обмеженні на її вартість

Розглянемо випадок лінійних вартісних функцій пропускних спроможностей мережних каналів

де e_t - вартість каналу і у розрахунку на одиницю пропускної спроможності C_i .

Розв'язання такої лінійної задачі ВПС за критерієм мінімуму середньої затримки пакетів (3.22) в мережі при обмеженні на її вартість має вигляд правила «квадратного кореня» [5, 6]:

де E - додаткова вартість:

При цьому мінімальна середня затримка пакетів в мережі:

де R = Я/у - середній ранг шляхів у мережі.

В окремому випадку, що має велике значення, питомі вартості каналів можуть бути однаковими (e_t = e, і = 1, M), при цьому можна покласти e = 1. Зазначимо, що при цьому вартість мережі є сумою всіх пропускних

M

спроможностей її каналів (Е = ІQ ), яку можна позначити через С і вважати,

і=1

що вона виражена в бітах за секунду. Тепер два основних результати ВПС - один для набору пропускних спроможностей та інший для затримки - мають вигляд

де параметр p має значення

В додатку 3.2 наведено приклад розв'язання в системі математичного програмування Mathcad задачі ВПС каналів зонової (централізованої) мережі зв'язку за критерієм мінімуму середньої затримки пакетів при обмеженні на її вартість.

3.5.3 Вибір пропускних спроможностей каналів за критерієм мінімуму вартості мережі при обмеженні на середню затримку пакетів в ній

Розв'язання цієї дуальної задачі ВПС у випадку лінійної вартісної функції (3.26) має вигляд [5, 6]

який також має назву правила «квадратного кореня». Йому відповідає мінімальна вартість мережі в цілому

В окремому випадку, коли питомі вартості каналів є однаковими (e_t = e,

i = 1, M), можна покласти e = 1. При цьому вартість мережі є сумою всіх

M

пропускних спроможностей її каналів (E = ^ C_i), яку можна позначити через

i =1

C і вважати, що вона виражена в бітах за секунду. Тепер два основних результати ВПС - один для набору пропускних спроможностей та інший для вартості (сумарної пропускної спроможності) - мають вигляд

В додатку З.3 наведено приклад розв'язання в системі математичного програмування Mathcad задачі ВПС каналів зонової (централізованої) мережі зв'язку за критерієм мінімуму її вартості при обмеженні на середню затримку пакетів в ній.

3.6 Програмна реалізація алгоритмів синтезу, аналізу й оптимізації зонових мереж зв'язку

Програмна реалізація вищезгаданих алгоритмів являється невід'ємною складовою проектування мереж зв'язку, особливо у випадку великої кількості їх мережних вузлів. Тому актуальним є вміння студентів орієнтуватися у програмних засобах синтезу, аналізу і оптимізації мереж зв'язку на основі розглянутих алгоритмів. Виконання цього пункту є необхідним для отримання оцінки «відмінно» (95 - 100 балів).

При цьому може використовуватися велика множина спеціальних програмних засобів, наприклад, Matlab, Matcad, Mathematica, мови програмування C, C++, Pascal та ін. Вибір програмного засобу є довільним.

4 ПІДГОТОВКА ДО ЗАХИСТУ КУРСОВОЇ РОБОТИ ТА ЇЇ ЗАХИСТ

Мета підготовки до захисту курсової роботи полягає в тому, щоб навчитися вірно відповідати на такі основні типи запитань:

1. Які базові топології використовуються при побудові зонових мереж зв'язку?

2. В чому полягає суть синтезу оптимальних топологій мереж і які алгоритми використовуються при цьому?

3. Що означає структурна надійність мереж і які показники використовуються для неї?

4. Які показники враховуються для оптимальної маршрутизації в мережах зв'язку?

5. В чому полягає суть основних методів та алгоритмів оптимальної маршрутизації в мережах зв'язку?

6. В чому полягає задача вибору пропускних спроможностей (ВПС) каналів мереж зв'язку з комутацією пакетів?

7. Які критерії та співвідношення використовуються при розв'язанні задачі ВПС?

Форма відповіді не регламентується. При відповіді на ці запитання можна навести потрібні розрахункові формули або дати якісну відповідь - подати суть процесів, що мають місце в мережах зв'язку. Важливо, щоб студент виявив знання сучасних принципів синтезу, аналізу та оптимізації мереж зв'язку, а також програмної реалізації відповідних методів і алгоритмів.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Бондаренко М.Ф., Белоус Н.В., Руткас А.Г. Дискретная математика. - Харьков: «Компания СМИТ», 2004.

2. Зайченко Ю.П., Гонта Ю.В. Структурная оптимизация сетей ЭВМ. - К.: Техника, 1986. - 168 с.

3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1981. - 323 с.

4. Теория сетей связи / Под ред. В. Н. Рогинского. - М.: Связь, 1979.

5. Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование. - М.: Радио и связь,

1981.

6. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. - М.: Мир, 1979.

Додаток А

ТАБЛИЦЯ ВАРІАНТІВ ЗАВДАНЬ НА КУРСОВУ РОБОТУ

Номер студента по	Мережна зона	Коефіцієнт готовності
журналу		каналів зв'язку кг (u)
01	Київська область	0,901
02	Волинська область	0,902
03	Ровенська область	0,903
04	Житомирська область	0,904
05	Чернігівська область	0,905
06	Сумська область	0,906
07	Полтавська область	0,907
08	Харківська область	0,908
09	Львівська область	0,909
10	Тернопільська область	0,910
11	Хмельницька область	0,911
12	Закарпатська область	0,912
13	Івано-Франківська область	0,913
14	Чернівецька область	0,914
15	Вінницька область	0,915
16	Черкаська область	0,916
17	Кіровоградська область	0,917
18	Миколаївська область	0,918
19	Херсонська область	0,919
20	Дніпропетровська область	0,920
21	Запорізька область	0,921
22	Одеська область	0,922
23	Луганська область	0,923
24	Донецька область	0,924
25	Автономна республіка Крим	0,925
26	Київська область	0,926
27	Волинська область	0,927
28	Ровенська область	0,928
29	Житомирська область	0,929
30	Чернігівська область	0,930

Додаток Б

ЗРАЗОК БЛАНКА ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Кафедра "Мережі зв'язку"

ВАРІАНТ №

до курсової роботі з дисципліни "Телекомунікаційні та інформаційні мережі"

Група Студент

Вихідні дані

Зона мережі

с вузлами

1.

2.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Коефіцієнт готовності мережних каналів зв'язку

Інтенсивності зовнішніх потоків пакетів

Критерій ВПС

Програмна реалізація алгоритму

Зміст пояснювальної записки (перелік питань, що їх потрібно розробити) Вступ

1. Синтез оптимальної топології зонової мережі зв'язку

   1. Алгоритм Прима для синтезу найкоротшого дерева

   2. Алгоритм Літтла для синтезу найкоротшого гамільтонового циклу

   3. Синтез топології мережі методом М-структур

2. Визначення множини шляхів та їх перерізів методом побудови дерева

3. Аналіз структурної надійності мережі

4. Знаходження множини шляхів при оптимальній маршрутизації в мережі

5. Вибір пропускних спроможностей каналів мережі

6. Програмна реалізація алгоритмів проектування мережі Висновки

Перелік посилань

Завдання видав

Завдання прийняв

Додаток В

ЗРАЗОК ТИТУЛЬНОГО АРКУША КУРСОВОЇ РОБОТИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Факультет

Кафедра