1.5. Функции k-значной логики

Для описания дискретных устройств наряду с булевыми функциями применяются функции, у которых аргументы и сами функции принимают значения из множества, содержащего k элементов (0,1.. k-1) [1].

Определение. Функция, принимающая значения из множества

{0,1.. k-1}, аргументы которой также принимают значения из этого множества, называется функцией k-значной логики.

Булева функция есть функция двухзначной логики. Функция

k - значной логики может быть задана таблицей истинности вида:

x1	x2	...	xn	f(x1... xn)
0	0		0	f(0,0,...,0)
0	0		1	f(0,0,...,1)
0	1		0	f(0,1,...,0)
0	1		1	f(0,1,...,1)
...	...	...	...	...
k-1	k-1		k-1	f(k-1,k-1,...k-1)

Число k - ичных наборов длины n равно k и на каждом из них значение функции может задаваться k способами, поэтому число функций k - значной логики определяется числом k . Аналогично двузначной логике в k - значной логике выделяются элементарные функции:

1. Квазиконъюнкция

2. Квазидизъюнкция

3. Сумма по модулю k

{x₁ x₂}_{mod k}

Значение функции равно остатку от деления суммы x₁ + x₂ на k..

4. Произведение по модулю k

{x₁x₂}_{mod k}

Значение функции равно остатку от деления произведения x₁ и x₂ на k.

5. Функция Вебба, (стрелка Пирса  ),

{max(x₁, x₂)+1}_{mod k}

6. Цикл (циклическое отрицание)

7. Функция инверсии

.

В алгебре k - значной логики действуют законы аналогичные законам булевой алгебры. Кроме того к элементарным функциям относятся следующие характеристические функции:

 = ( 0, 1, ..., k-1).

Построим таблицы, задающие введенные элементарные функции. В трехзначной логике f =0, f = 1, f = 2 будут представлять собой константы.

x1	x2			x1  x2	x1 x2	x1 x2
0	0	0	0	1	0	0
0	1	0	1	2	1	0
0	2	0	2	0	2	0
1	0	0	1	2	1	0
1	1	1	1	2	2	1
1	2	1	2	0	0	2
2	0	0	2	0	2	0
2	1	1	2	0	0	2
2	2	2	2	0	1	1

x	0	1	2
0	2	0	0	2	1
1	0	2	0	1	2
2	0	0	2	0	0