Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
17 вариант (02).doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
144.9 Кб
Скачать

З адача №1.

Из данной совокупности секвенций выбрать доказуемые, построить их

доказательства, для недоказуемых показать их недоказуемость с помощью:

а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

Среди этих доказательств недоказуемости выбрать оптимальное в каждом

конкретном случае.

1) ¬x, ¬y├ (( yx ) → z ) v ( ¬z y ) → x ).

2) x v ¬y v u , y v ¬u , x v z ├ x v y.

3) x , y , z ├ ( x → y ) v ( y → z ).

4) x v y ├ ( x → z ) v ( y → z ).

РЕШЕНИЕ.

Проверим доказуемость с помощью таблицы истинности.

  1. ¬x, ¬y├ (( yx ) → z ) v ( ¬z y ) → x.)

¬x Λ ¬y → (( yx ) → z ) v ( ¬z y ) → x.)

x y z

¬x ¬y ¬z

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

1 1 1

1

1

0

0

1

1

1

0 0 1

1 1 0

1

1

1

1

0

1

1

0 1 0

1 0 1

0

0

1

1

0

1

1

0 1 1

1 0 0

0

0

1

1

0

1

1

1 0 0

0 1 1

0

1

0

0

1

1

1

1 0 1

0 1 0

0

1

1

1

1

1

1

1 1 0

0 0 1

0

1

0

1

1

1

1

1 1 1

0 0 0

0

1

1

1

1

1

1

Данная формула доказуема.

Построим её доказательство по правилам вывода.

2. x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y

((x v ¬y v u ) Λ (y v ¬u) Λ (x v z)) → x v y

x у z u

¬y ¬u

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0

1 1

1

1

1

1

0

0

0

1

0 0 0 1

1 0

1

1

0

0

0

0

0

1

0 0 1 0

1 1

1

1

1

1

1

1

0

0

0 0 1 1

1 0

1

1

0

0

1

0

0

1

0 1 0 0

0 1

0

0

1

0

0

0

1

1

0 1 0 1

0 0

0

1

1

1

0

0

1

1

0 1 1 0

0 1

0

0

1

0

1

1

1

1

0 1 1 1

0 0

0

1

1

1

1

1

1

1

1 0 0 0

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 0 0 1

1 0

1

1

0

0

1

0

1

1

1 0 1 0

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 0 1 1

1 0

1

1

0

0

1

0

1

1

1 1 0 0

0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 0 1

0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 0

0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1

0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

Эта формула недоказуема.

Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

а) Алгоритм Квайна.

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y

первая ветвь вторая ветвь

х = 0 x = 1

(( 0 v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( 0 v z )) → 0 v y

(( ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ z ) → y

у = 0 у =1

(( 1 v u ) Λ ( 0 v ¬u) Λ z → 0

1 Λ ¬u Λ z → 0

¬u Λ z → 0

z=0 z=1

0→0=1 ¬u →0

u=0 u=1

1→0=0 0 →0=1

Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.

Следовательно, она недоказуема.

б) Алгоритм редукции.

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = Ф

Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = 0

Значит ( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z ) = 1 , x v y=0

х = 0

у = 0

Следовательно,

y v ¬u = 1 x v z = 1

¬u = 1 0 v z = 1

¬u = 1, u = 0 z = 1

Противоречий нет. Формула недоказуема.

в) Метод резолюций.

x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y

S = { x v ¬y v u; y v ¬u; x v z ; ¬(x v y) }

Построим резолютивный вывод нуля из S:

D1 = x v ¬y v u res( D1, D2 ) = x D6 = x

D2 = y v ¬u res( D4, D6 ) = 0

D3 = x v z

D4 = ¬x

D5 = ¬y

Формула недоказуема.

Данное доказательство является оптимальным.

3. x , y , z ├ ( xy) v ( yz )

(x Λ y Λ z) → ( xy) v ( yz )

x y z

1

2

3

4

5

6

0 0 0

0

0

1

1

1

1

0 0 1

0

0

1

1

1

1

0 1 0

0

0

1

0

1

1

0 1 1

0

0

1

1

1

1

1 0 0

0

0

0

1

1

1

1 0 1

0

0

0

1

1

1

1 1 0

1

0

1

0

1

1

1 1 1

1

1

1

1

1

1

Эта формула доказуема.

Покажем её доказуемость по правилам вывода.

x ├ x; y ├ y; z ├ z

12

x ,y,zy; x,y,zz;

7

x ,y,z ├ (xy); x,y,z ├ (yz)

1

x,y,z ├ (xy) v (yz)

4. x v y ├ ( xz ) v ( yz )

x v y → ( xz ) v ( yz )

x y z

1

2

3

4

5

0 0 0

0

1

1

1

1

0 0 1

0

1

1

1

1

0 1 0

1

1

0

1

1

0 1 1

1

1

1

1

1

1 0 0

1

0

1

1

1

1 0 1

1

1

1

1

1

1 1 0

1

0

0

0

0

1 1 1

1

1

1

1

1

Эта формула недоказуема.

Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

а) Алгоритм Квайна

x v y → ( xz ) v ( yz )

х = 0 х = 1

y → 1 v ( yz ) 1 → ( 1 → z) v ( yz)

y → 1 = 1 1 → z v ( yz)

y = 0 y = 1

1 → z v 1 1 → z v z

1 → 1 = 1

z = 0 z = 1

1 → 0 = 0 1 → 1 = 1

Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.

Следовательно, она недоказуема.

б) Алгоритм редукции

x v y → ( xz ) v ( yz ) = Ф

Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:

( xz ) v ( yz ) = 0 , x v y = 1

xz = 0 yz = 0 x v y = 1

х = 1 y = 1 x = 1

z = 0 z = 0 y = 1

Противоречий нет. Формула недоказуема.

Данное доказательство является оптимальным.

в) Метод резолюций

x v y ├ ( xz ) v ( yz )

S = { (x v y); ¬ ( xz ); ¬ ( yz )}