З адача №1.

Из данной совокупности секвенций выбрать доказуемые, построить их

доказательства, для недоказуемых показать их недоказуемость с помощью:

а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

Среди этих доказательств недоказуемости выбрать оптимальное в каждом

конкретном случае.

1) ¬x, ¬y├ (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x ).

2) x v ¬y v u , y v ¬u , x v z ├ x v y.

3) x , y , z ├ ( x → y ) v ( y → z ).

4) x v y ├ ( x → z ) v ( y → z ).

РЕШЕНИЕ.

Проверим доказуемость с помощью таблицы истинности.

1. ¬x, ¬y├ (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x.)

¬x Λ ¬y → (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x.)

x y z	¬x ¬y ¬z	1	2	3	4	5	6	7
0 0 0	1 1 1	1	1	0	0	1	1	1
0 0 1	1 1 0	1	1	1	1	0	1	1
0 1 0	1 0 1	0	0	1	1	0	1	1
0 1 1	1 0 0	0	0	1	1	0	1	1
1 0 0	0 1 1	0	1	0	0	1	1	1
1 0 1	0 1 0	0	1	1	1	1	1	1
1 1 0	0 0 1	0	1	0	1	1	1	1
1 1 1	0 0 0	0	1	1	1	1	1	1

Данная формула доказуема.

Построим её доказательство по правилам вывода.

2. x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y

((x v ¬y v u ) Λ (y v ¬u) Λ (x v z)) → x v y

x у z u	¬y ¬u	1	2	3	4	5	6	7	8
0 0 0 0	1 1	1	1	1	1	0	0	0	1
0 0 0 1	1 0	1	1	0	0	0	0	0	1
0 0 1 0	1 1	1	1	1	1	1	1	0	0
0 0 1 1	1 0	1	1	0	0	1	0	0	1
0 1 0 0	0 1	0	0	1	0	0	0	1	1
0 1 0 1	0 0	0	1	1	1	0	0	1	1
0 1 1 0	0 1	0	0	1	0	1	1	1	1
0 1 1 1	0 0	0	1	1	1	1	1	1	1
1 0 0 0	1 1	1	1	1	1	1	1	1	1
1 0 0 1	1 0	1	1	0	0	1	0	1	1
1 0 1 0	1 1	1	1	1	1	1	1	1	1
1 0 1 1	1 0	1	1	0	0	1	0	1	1
1 1 0 0	0 1	1	1	1	1	1	1	1	1
1 1 0 1	0 0	1	1	1	1	1	1	1	1
1 1 1 0	0 1	1	1	1	1	1	1	1	1
1 1 1 1	0 0	1	1	1	1	1	1	1	1

Эта формула недоказуема.

Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

а) Алгоритм Квайна.

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y

первая ветвь вторая ветвь

х = 0 x = 1

(( 0 v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( 0 v z )) → 0 v y

(( ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ z ) → y

у = 0 у =1

(( 1 v u ) Λ ( 0 v ¬u) Λ z → 0

1 Λ ¬u Λ z → 0

¬u Λ z → 0

z=0 z=1

0→0=1 ¬u →0

u=0 u=1

1→0=0 0 →0=1

Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.

Следовательно, она недоказуема.

б) Алгоритм редукции.

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = Ф

Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:

(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = 0

Значит ( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z ) = 1 , x v y=0

х = 0

у = 0

Следовательно,

y v ¬u = 1 x v z = 1

¬u = 1 0 v z = 1

¬u = 1, u = 0 z = 1

Противоречий нет. Формула недоказуема.

в) Метод резолюций.

x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y

S = { x v ¬y v u; y v ¬u; x v z ; ¬(x v y) }

Построим резолютивный вывод нуля из S:

D₁ = x v ¬y v u res( D₁, D₂ ) = x D₆ = x

D₂ = y v ¬u res( D₄, D₆ ) = 0

D₃ = x v z

D₄ = ¬x

D₅ = ¬y

Формула недоказуема.

Данное доказательство является оптимальным.

3. x , y , z ├ ( x → y) v ( y → z )

(x Λ y Λ z) → ( x → y) v ( y → z )

x y z	1	2	3	4	5	6
0 0 0	0	0	1	1	1	1
0 0 1	0	0	1	1	1	1
0 1 0	0	0	1	0	1	1
0 1 1	0	0	1	1	1	1
1 0 0	0	0	0	1	1	1
1 0 1	0	0	0	1	1	1
1 1 0	1	0	1	0	1	1
1 1 1	1	1	1	1	1	1

Эта формула доказуема.

Покажем её доказуемость по правилам вывода.

x ├ x; y ├ y; z ├ z

12

x ,y,z ├ y; x,y,z ├ z;

7

x ,y,z ├ (x → y); x,y,z ├ (y → z)

1

x,y,z ├ (x → y) v (y → z)

4. x v y ├ ( x → z ) v ( y → z )

x v y → ( x → z ) v ( y → z )

x y z	1	2	3	4	5
0 0 0	0	1	1	1	1
0 0 1	0	1	1	1	1
0 1 0	1	1	0	1	1
0 1 1	1	1	1	1	1
1 0 0	1	0	1	1	1
1 0 1	1	1	1	1	1
1 1 0	1	0	0	0	0
1 1 1	1	1	1	1	1

Эта формула недоказуема.

Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;

б) алгоритма редукции;

в) метода резолюций.

а) Алгоритм Квайна

x v y → ( x → z ) v ( y → z )

х = 0 х = 1

y → 1 v ( y → z ) 1 → ( 1 → z) v ( y → z)

y → 1 = 1 1 → z v ( y → z)

y = 0 y = 1

1 → z v 1 1 → z v z

1 → 1 = 1

z = 0 z = 1

1 → 0 = 0 1 → 1 = 1

Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.

Следовательно, она недоказуема.

б) Алгоритм редукции

x v y → ( x → z ) v ( y → z ) = Ф

Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:

( x → z ) v ( y → z ) = 0 , x v y = 1

x → z = 0 y → z = 0 x v y = 1

х = 1 y = 1 x = 1

z = 0 z = 0 y = 1

Противоречий нет. Формула недоказуема.

Данное доказательство является оптимальным.

в) Метод резолюций

x v y ├ ( x → z ) v ( y → z )

S = { (x v y); ¬ ( x → z ); ¬ ( y → z )}