
З адача №1.
Из данной совокупности секвенций выбрать доказуемые, построить их
доказательства, для недоказуемых показать их недоказуемость с помощью:
а) алгоритма Квайна;
б) алгоритма редукции;
в) метода резолюций.
Среди этих доказательств недоказуемости выбрать оптимальное в каждом
конкретном случае.
1) ¬x, ¬y├ (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x ).
2) x v ¬y v u , y v ¬u , x v z ├ x v y.
3) x , y , z ├ ( x → y ) v ( y → z ).
4) x v y ├ ( x → z ) v ( y → z ).
РЕШЕНИЕ.
Проверим доказуемость с помощью таблицы истинности.
¬x, ¬y├ (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x.)
¬x Λ ¬y → (( y → x ) → z ) v ( ¬z → y ) → x.)
x y z |
¬x ¬y ¬z |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 0 0 |
1 1 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 0 1 |
1 1 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 1 0 |
1 0 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 1 1 |
1 0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 0 0 |
0 1 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 |
0 1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 |
0 0 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 |
0 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Данная формула доказуема.
Построим её доказательство по правилам вывода.
2. x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y
((x v ¬y v u ) Λ (y v ¬u) Λ (x v z)) → x v y
-
x у z u
¬y ¬u
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0 0 0
1 1
1
1
1
1
0
0
0
1
0 0 0 1
1 0
1
1
0
0
0
0
0
1
0 0 1 0
1 1
1
1
1
1
1
1
0
0
0 0 1 1
1 0
1
1
0
0
1
0
0
1
0 1 0 0
0 1
0
0
1
0
0
0
1
1
0 1 0 1
0 0
0
1
1
1
0
0
1
1
0 1 1 0
0 1
0
0
1
0
1
1
1
1
0 1 1 1
0 0
0
1
1
1
1
1
1
1
1 0 0 0
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0 0 1
1 0
1
1
0
0
1
0
1
1
1 0 1 0
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0 1 1
1 0
1
1
0
0
1
0
1
1
1 1 0 0
0 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 0 1
0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 0
0 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
Эта формула недоказуема.
Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;
б) алгоритма редукции;
в) метода резолюций.
а) Алгоритм Квайна.
(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y
первая ветвь вторая ветвь
х = 0 x = 1
(( 0 v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( 0 v z )) → 0 v y
(( ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ z ) → y
у
= 0 у =1
(( 1 v u ) Λ ( 0 v ¬u) Λ z → 0
1 Λ ¬u Λ z → 0
¬u
Λ
z
→ 0
z=0 z=1
0→0=1 ¬u →0
u=0
u=1
1→0=0
0 →0=1
Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.
Следовательно, она недоказуема.
б) Алгоритм редукции.
(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = Ф
Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:
(( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z )) → x v y = 0
Значит ( x v ¬y v u ) Λ ( y v ¬u ) Λ ( x v z ) = 1 , x v y=0
х = 0
у = 0
Следовательно,
y v ¬u = 1 x v z = 1
¬u = 1 0 v z = 1
¬u = 1, u = 0 z = 1
Противоречий нет. Формула недоказуема.
в) Метод резолюций.
x v ¬y v u, y v ¬u, x v z ├ x v y
S = { x v ¬y v u; y v ¬u; x v z ; ¬(x v y) }
Построим резолютивный вывод нуля из S:
D1 = x v ¬y v u res( D1, D2 ) = x D6 = x
D2 = y v ¬u res( D4, D6 ) = 0
D3 = x v z
D4 = ¬x
D5 = ¬y
Формула недоказуема.
Данное доказательство является оптимальным.
3. x , y , z ├ ( x → y) v ( y → z )
(x Λ y Λ z) → ( x → y) v ( y → z )
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 0 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 1 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Эта формула доказуема.
Покажем её доказуемость по правилам вывода.
x ├ x; y ├ y; z ├ z
12
x
,y,z
├ y;
x,y,z
├ z;
7
x
,y,z
├ (x
→ y);
x,y,z
├ (y
→ z)
1
x,y,z ├ (x → y) v (y → z)
4. x v y ├ ( x → z ) v ( y → z )
x v y → ( x → z ) v ( y → z )
-
x y z
1
2
3
4
5
0 0 0
0
1
1
1
1
0 0 1
0
1
1
1
1
0 1 0
1
1
0
1
1
0 1 1
1
1
1
1
1
1 0 0
1
0
1
1
1
1 0 1
1
1
1
1
1
1 1 0
1
0
0
0
0
1 1 1
1
1
1
1
1
Эта формула недоказуема.
Покажем её недоказуемость с помощью а) алгоритма Квайна;
б) алгоритма редукции;
в) метода резолюций.
а) Алгоритм Квайна
x v y → ( x → z ) v ( y → z )
х = 0 х = 1
y → 1 v ( y → z ) 1 → ( 1 → z) v ( y → z)
y
→ 1 = 1 1 → z
v
( y
→ z)
y = 0 y = 1
1 → z v 1 1 → z v z
1 → 1 = 1
z = 0 z = 1
1 → 0 = 0 1 → 1 = 1
Получили набор переменных, при котором функция обращается в ноль.
Следовательно, она недоказуема.
б) Алгоритм редукции
x v y → ( x → z ) v ( y → z ) = Ф
Предположим, что Ф = 0, т.е. предположим , что формула недоказуема, тогда:
( x → z ) v ( y → z ) = 0 , x v y = 1
x → z = 0 y → z = 0 x v y = 1
х = 1 y = 1 x = 1
z = 0 z = 0 y = 1
Противоречий нет. Формула недоказуема.
Данное доказательство является оптимальным.
в) Метод резолюций
x v y ├ ( x → z ) v ( y → z )
S = { (x v y); ¬ ( x → z ); ¬ ( y → z )}