VI.3. Операции над многочленами

В этом разделе каждый многочлен , представляется массивом коэффициентов и степенью . Размер (длина) массива выбирается с некоторым запасом (т.е. ). (Это объясняется тем, что при выполнении тех или иных операций над многочленами степень многочлена-результата может отличаться от степеней многочленов-аргументов. Так, перемножая многочлены степеней и , мы получаем многочлен степени и т.п.) Неиспользуемый "хвост" массива при необходимости обнуляют, т.е. полагают для .

63. (Табулирование многочлена.) Вычислить значения многочлена в точках .

Указание. Вычисление провести по схеме Горнера:

.

Замечание. Схема Горнера примечательна тем, что она использует наименьшее число арифметических операций, необходимых для вычисления значения многочлена в заданной точке. Для произвольного многочлена степени требуется умножений и сложений-вычитаний. (Для многочленов частного вида число операций может быть, конечно, уменьшено; см. задачу III.1.4.)

64. (Целые корни целочисленного многочлена.) Дан многочлен с целыми коэффициентами. Найти целые корни этого многочлена.

Указание: если l – целый корень P(x), то делится на l.

65. (Рациональные корни целочисленного многочлена.) Дан многочлен с целыми коэффициентами. Найти рациональные корни этого многочлена.

Указание. Напомним, что рациональное число – это число, представимое в виде отношения целых чисел. Для получения всех рациональных корней (как целых, так и дробных) многочлена Q(x) нужно найти все целые корни многочлена

,

а затем разделить их на q₀ (см. задачу 64).

66. (Операции над многочленами от одной переменной.) Даны многочлены Q(x) и P(x). Вычислить:

1. – произведение P(x) на скаляр c;

2. – сумму P(x) и Q(x);

3. – формальную производную от P(x);

4. – неопределенный интеграл от P(x);

5. – произведение P(x) и Q(x);

6. R(x) и S(x) – частное и остаток от деления P(x) на Q(x);

7. – m-ую степень P(x);

8. – многочлен, получающийся в результате подстановки Q(x) в P(x), раскрытия скобок и приведения подобных членов.

67. (Бином Ньютона.) Вычислить коэффициенты многочлена , равного

а) ; б) ; в) .

Указание.

1. , ;

2. , ;

3. , ,

68. (Операции над тригонометрическими многочленами.) Решить задачу 66 для тригонометрических многочленов. (Пункты е) и з) здесь исключаются.)

Указание. Тригонометрический многочлен степени m имеет вид и задается здесь значением m и двумя массивами коэффициентов и . Как и для степенных многочленов, размер (длина n) массивов A и B выбираются с некоторым запасом (т.е. n>m). Напомним формулы, которые будут здесь полезны:

,

,

.

69. (Формулы Ньютона.) Многочлен

(_*)

представлен набором чисел . Вычислить значения коэффициентов многочлена

. (_**)

Другими словами, требуется перейти от формы (_*) к форме (_**).

Указание. Отметим, что ; , , где – элементарные симметрические многочлены от , определяемые так:

.

Для вычисления сначала следует вычислить степенные суммы для k=1,2,…,n, а затем использовать формулы Ньютона, связывающие с суммами S_k:

, .

Предлагаемый здесь способ вычисления коэффициентов не является, конечно, обязательным (и лучшим). Можно, например, просто последовательно перемножить многочлены по схеме:

; , ; .

70. (Многочлены Лежандра.) Многочлены определяются так:

, ;

,

1. Вычислить значение многочлена в точке x=a.

2. В той же точке вычислить значение многочлена

.

3. Многочлен имеет степень n. Вычислить его коэффициенты.

4. Вычислить коэффициенты многочлена

.

71. (Многочлены Бернштейна.) Многочлены

введены С.Н.Бернштейном в 1912 году. Они интересны, в частности, тем, что последовательность сходится к f(x) равномерно на отрезке , если функция f(x) на этом отрезке непрерывна.

По заданным значениям , k=0,1,…,n, вычислить коэффициенты многочлена .

72. (Интерполяционная формула Лагранжа.) Вычислить коэффициенты p₀, p₁,…, p_n многочлена P(x)=p₀+p₁x¹+…+p_nxⁿ такого, что P(c_i)=b_i, i=0,1,…,n.

Указание: .

73. (Многочлен в форме Ньютона.) Многочлен

P(x)=p₀+p₁x¹+…+p_mx^m (_*)

может быть записан в ньютоновой форме

, (_**)

где c₀,c₁,…,c_m–1 – некоторые заданные числа.

1. Вычислить значения многочлена (_**) в точке x=a.

2. Перейти от формы (_*) к (_**), строя массив u=(u₀,u₁,…,u_m) по массивам p=(p₀,p₁,…,p_m) и c=(c₀,c₁,…,c_m–1).

3. Перейти от формы (_**) к форме (_*), строя массив p по массивам u и c.

74. (Раскрытие скобок в бесконечном произведении.) Пусть

,

где m – заданное натуральное число. Раскрывая скобки, мы можем записать в виде степенного ряда

.

Вычислить первые k его коэффициентов, т.е. .

Замечание. О функции см., например, статью Д.Фукса "О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях" в журнале "Квант", №8 за 1981 год, сс. 12-20.

75. (Преобразование Мак-Вильямс.) Многочлен с вещественными коэффициентами от двух переменных

представлен матрицей

Построить матрицу B=(b_mn), представляющую многочлен

где .

Замечание. Преобразование P(x,y)→Q(x,y) находит применение в алгебраической теории кодирования.

76. (Н.О.Д.)

1. Найти наибольший общий делитель двух многочленов с целыми коэффициентами.

2. Найти наибольший общий делитель двух многочленов с рациональными коэффициентами.

Указания. а) Наибольший общий делитель является здесь многочленом с целыми коэффициентами. Использовать алгоритм Евклида. Полезно предварительно ознакомиться с разделом 4.6.1 книги Д. Кнута "Искусство программирования для ЭВМ", том 2. – М.: Мир, 1977. б) Поскольку рациональное число P есть отношение a/b двух целых чисел a и b, то каждый многочлен с рациональными коэффициентами задается двумя целочисленными массивами и такими, что .