VI.2. Операции над матрицами

39. (Норма матрицы.) Вычислить норму квадратной матрицы A=(a_ij) n‑го порядка.

40. (Построение матриц.) Построить матрицы

а) б)

в)  г) 

д)

41. (Построение матриц.) Построить матрицы C=( ), , с элементами

1. ;

2. .

42. (Циркулянты.) По заданному вектору построить циркулянтную (n n)-матрицу A, у которой первая строка совпадает с a, а каждая последующая строка есть циклический сдвиг (влево) предыдущей строки.

43. (Вертикальная рекурентность, или матрицы, образованные числами Стирлинга s_nk и S_nk первого и второго рода.) Построить (m m)-матрицы s=(s_nk) и S=(S_nk), , , где s_nk=S_nk=0 при n<k и

s₀₀=S₀₀=1; s_n0=S_n0=0 для n>0;

s_n+1,k=s_n,k–1–ns_nk, S_n+1,k=S_n,k–1+kS_nk для n+1 k 1.

44. (Построение некоторых известных матриц.)

1. Для заданного вещественного вектора (x₁,…,x_n) построить (n n)-матрицу Вандермонда W=(w_ij), где , i, j=1,2,…,n.

2. Для заданных вещественных векторов (x₁,…,x_n) и (y₁,…,y_n) построить (n n)-матрицу Коши C=(c_ij), где c_ij=(x_i+y_j)^–1, i, j=1,2,…,n.

3. Построить целочисленную (n n)-матрицу Смита S=(s_ij), где s_ij=н.о.д.(i,j), i, j=1,2,…,n.

4. Вычислить определители матриц W, C и S.

Указание: известно, что

;

;

,

где det A – определитель матрицы A, – функция Эйлера, определяемая как число целых чисел из отрезка [1,k], взаимно простых с k.

45. (Транспонирование матрицы.) Транспонировать заданную квадратную матрицу.

46. (Числа разбиений.) Построить целочисленную квадратную матрицу Q=(q_ij) порядка s, элементы которой определены следующим образом:

q_1k=q_k1=1 для всех k=1,2,…; q_mm=q_m,m–1+1 для всех m=2,3,…;

q_mk=q_mm при m<k; q_mk=q_m,k–1+q_m–k,k при m>k.

Замечание. q_mk есть число способов представления натурального m в виде суммы неупорядоченных натуральных слагаемых, каждое их которых не превосходит r. Например, q_5,4=7, так как 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1.

47. ("Упаковка" и "распаковка" трехдиагональных матриц.)

1. Преобразовать матрицу

в вектор .

2. Выполнить обратное преобразование.

3. Преобразовать матрицу

в вектор .

4. Выполнить обратное преобразование.

48. ("Упаковка" и "распаковка" треугольных матриц.)

1. Преобразовать треугольную матрицу

в вектор .

2. Выполнить обратное преобразование.

49. ("Упаковка" и "распаковка" симметричной матрицы.)

1. По заданной симметричной (n n)-матрице A=(a_ij) построить вектор

.

2. Выполнить обратное преобразование.

50. (Трехдиагональные, треугольные и симметричные матрицы.) Установить, является ли заданная матрица: а) трехдиагональной, б) треугольной, в) симметричной.

51. (Решение системы линейных уравнений.)

1. Найти решение системы линейных уравнений

где , i=1,2,…,n.

2. Найти решение системы линейных уравнений

используя метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

52. (Итерационные методы решения системы линейных уравнений.) Найти решение системы линейных уравнений

(_*)

используя итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя.

Указание. В методе Якоби уравнения (_*) переписываются в следующей форме:

(_**)

Далее, взяв какое-нибудь начальное приближение для x-ов, мы получим из уравнения (_**) новое приближение. Этот процесс продолжается до тех пор, пока разность между двумя последовательными приближениями по всем x-ам не станет меньше некоторого малого значения (т. е. , где и – соответственно предыдущее и последующее приближения x_i, i=1,2,…,n). Метод Гаусса-Зейделя отличается от метода Якоби тем, что в нем всегда берется для каждого x последнее из полученных приближений. Так, при вычислении второго приближения x₃ применяется не первые, а вторые приближения x₁ и x₂.

53. (Разреженные матрицы.) Разреженная (m n)-матрица A (т. е. матрица, большинство элементов которой равны нулю) может быть представлена тремя векторами, а именно: вектором b, в котором перечислены ненулевые элементы по строкам; вектором j, в котором перечислены номера столбцов для каждого элемента, включенного в b; и, наконец, вектором , где i_k – суммарное число ненулевых элементов в строках с номерами 1,2,…,k–1 (таким образом, i_k+1-ый элемент вектора b есть первый ненулевой элемент в k-ой строке матрицы A).

Пример. Пусть

.

Тогда b=(1,2,1,1,4,3); j=(2,3,3,1,5,1,4); i=(2,3,5).

1. Построить уплотненное представление <b,j,i> для заданной матрицы A.

2. Выполнить обратное преобразование от <b,j,i> к A.

3. Найти значение элемента a_st матрицы A, расположенного на пересечении s-ой строки и t-го столбца, по заданной пятерке <s,t,b,j,i>, где .

54. (Седловая точка.) Седловой точкой матрицы называется любой ее элемент, являющийся минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Вычислить l_A – число седловых точек матрицы A. (Например, для матриц

, , ,

имеем l_A=0, l_B=1, l_C=2, l_D=9.) Попутно вычислить координаты последней из найденных седловых точек (в предположении, что ).

55. (Кронекерово произведение матриц.) Вычислить – кронекерово произведение матриц A и B, определяемое так:

,

где

, ,

Матрица C имеет, таким образом, размер ms nt.

56. (Обычное умножение матриц. Метод Винограда. Возведение матриц в степень.)

1. Даны (l m)-матрица A=(a_ij) и (m n)-матрица B=(b_ij). Вычислить C=AB – их произведение.

2. Даны квадратные матрицы X=(x_ij) и Y=(y_ij) порядка 2n. Вычислить Z – произведение матриц X и Y по методу Винограда.

3. Дана квадратная матрица G. Вычислить матрицу D=Gⁿ=G G … G (n сомножителей).

Указания.

1. Здесь C=(c_ij) – это (l n)-матрица с элементами

, i=1,…,l; k=1,…,n.

2. В методе Винограда для вычисления скалярных произведений используется следующее соотношение:

,

где

, .

Предварительно следует вычислить вспомогательные векторы и . Вычисление Z по этому методу позволяет сэкономить примерно половину умножений по сравнению с методом а). Оцените число операций сложения и умножения в методах а), б).

3. Подумайте здесь об ускоренном методе вычисления Gⁿ. Разработайте метод, аналогичный индийскому способу возведения в степень, рассмотренный в задаче I.1.9.

57. (Умножение булевых матриц.) Булева матрица составлена из элементов, принимающих значения true и false. При перемножении булевых матриц A=(a_ij) размера (k l) и B=(b_tr) размера (l m) получается булева матрица C=(c_uv) размера (r m), элементы которой определяются следующим образом:

, (_*)

где & и – соответственно конъюнкция и дизъюнкция

1. Вычислить C=A B – произведение булевых матриц A и B.

2. Модифицировать задание, используя в (_*) вместо операцию (неэквивалентность), определяемую так: , если x=y, и , если x y. (Если обозначить true и false соответственно через 0 и 1, то есть сложение по mod 2.)

58. (Перемножение треугольных матриц, представленных в векторной форме.) При перемножении двух треугольных матриц получается также треугольная _{матрица. Вычислить произведение двух треугольных матриц, представленных в векторной форме, как в п. а) задачи 48. (Переход к квадратным матрицам запрещен!)}

59. (Нулевые подматрицы.) В матрице, составленной из нулей и единиц, найти наибольшую (по числу элементов) подматрицу, целиком состоящую из нулей. (Как показывает следующий пример, решение, вообще говоря, неоднозначно:

.)

Оцените временную сложность Вашего алгоритма.

60. (Подматрица наибольшего веса.) Вес матрицы определим как сумму ее элементов. Для заданной матрицы найти ее подматрицу наибольшего веса. (Как и в задаче 59, решение здесь, вообще говоря, неоднозначно.)

Оцените временную сложность Вашего алгоритма.

61. (Определитель квадратной матрицы.)

1. Вычислить определитель вещественной матрицы n-го порядка, приводя ее к треугольному виду.

2. Модифицировать разработанный алгоритм для вычисления определителя целочисленной матрицы. (Здесь разрешается оперировать только с целыми числами.)

62. (Универсальная матрица.) Двоичная (2ⁿ2ⁿ)-матрица U_n определяется рекурсивно:

; , n=2,3,…,

где – матрица, полученная из инвертированием элементов, т.е. заменой 0 на 1 и 1 на 0.

Построить матрицу U₈. Длина строки матрицы U₈ составляет 256 битов, или 32 байта. Поэтому для хранения матрицы U₈ достаточно 256  32 = 8192 байта.

Замечание. Матрица U_n используется в теории кодирования. Всякое n-мерное подпространство двоичных векторов длины m может быть получено путем подходящего выбора m столбцов (возможно, с повторениями) матрицы U_n. Строки, полученной таким образом матрицы, и будут составлять соответствующее n‑мерное подпространство.