2.7. Многочлены Чебышева и их свойства

Многочлены Чебышева степени вычисляются по формуле

. (2.30)

Они определены на отрезке . Применяя формулы тригонометрии, вычислим многочлены Чебышева. Для этого введем обозначение , тогда имеем:

, ,

,

,…, и т.д.

Используя тригонометрическое тождество:

,

получим рекуррентное соотношение для вычисления многочленов Чебышева в виде

, (2.31)

со следующими начальными условиями

.

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

1) коэффициент при старшей степени равен (свойство следует из соотношения (2.31));

2) корни многочленов Чебышева вычисляются по формуле

, , (2.32)

(определяются из уравнения );

3) многочлены Чебышева имеют точку экстремума

, , (2.33)

(определяются из уравнения );

4) ;

5) многочлены Чебышева ортогональны с весом :

; (2.34)

6) многочлены Чебышева являются наименее отклоняющимися от нуля на отрезке .

Обоснование последнего свойства следует из теоремы.

Теорема 2.2. Для любого многочлена степени с единичным коэффициентом при старшей степени справедливо неравенство

Доказательство. Допустим противное

Тогда разность является многочленом степени n-1. В n+1 точках многочлен принимает попеременно значения , а так как по предположению то разность попеременно принимает, то положительное, то отрицательное значение в точке. Таким образом, получается, что разность пересекает на интервале ось абсцисс раз, то есть имеет корней. Но это противоречие, так как разность является многочленом степени и должна иметь корень. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что из всех многочленов степени n с единичным коэффициентом при старшей степени, точная верхняя грань на интервале будет наименьшей у многочлена Чебышева . Поэтому, как указывалось в 6-ом свойстве, многочлены Чебышева называются многочленами, наименее отклоняющими от нуля.

Графики многочленов Чебышева 1, 2, 3 и 10 порядка приведены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Графики многочленов Чебышева

Как видно из графиков корни многочлена Чебышева располагаются на интервале чаще вблизи концов интервала.

2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа

Рассмотренные выше способы вычисления многочлена Лагранжа – формула Лагранжа, схема Эйткена и формула Ньютона, дают одинаковую погрешность метода, которую можно оценить, зная выражение для остаточного члена формулы Лагранжа.

Пусть функция , подлежащая интерполированию, на интервале имеет непрерывные производные до порядка включительно. Тогда, как показано в п. 2.4, остаточный член многочлена Лагранжа имеет вид:

(2.35)

где – некоторое число, принадлежащее интервалу . Анализируя остаточный член (2.35) видно, что при неудачном расположении узлов интерполирования значение

может оказаться очень большим. Поэтому возникает задача выбора узлов интерполирования (при заданном n) таких, чтобы величина

была минимальной или иначе многочлен был бы наименее отклоняющимся от нуля на отрезке [ ]. Как отмечалось в п. 2.8, наименее отклоняющимися от нуля являются многочлены Чебышева. Многочлен имеет единичный коэффициент при старшей степени и для этого многочлена справедливо

Отсюда вытекает, что если требуется минимизировать погрешность метода при интерполировании на интервале с помощью многочлена Лагранжа, то в силу (2.35), необходимо выбрать многочлен так, чтобы была наименьшей. А это можно достигнуть, если в качестве взять многочлен Чебышева , который является наименее отклоняющимся от нуля. При этом в качестве узлов интерполирования необходимо взять корни многочлена Чебышева степени

(2.36)

Погрешность метода при интерполировании на интервале будет минимальной и определится по формуле:

(2.37)

В случае интерполирования на произвольном интервале вводится линейное преобразование

, (2.38)

где . Тогда узлы интерполирования на будут следующие:

, (2.39)

Для оценки погрешности метода при интерполировании на интервале [ ], необходимо найти верхнюю грань . Оценим эту величину, учитывая свойства многочленов Чебышева:

. (2.40)

Тогда в силу (2.40), погрешность метода при интерполировании на интервале [ ] определится по формуле

(2.41)