
- •Смагин в.И., Решетникова г.Н.
- •Содержание
- •1. Основы теории погрешностей 9
- •2. Аппроксимация функций 19
- •2.16. Контрольные вопросы 90
- •2.17. Задания к главе 2 92
- •3. Численное дифференцирование 95
- •3.5. Контрольные вопросы 110
- •4. Численное интегрирование 112
- •4.10. Контрольные вопросы 189
- •4.11. Задания к главе 4 191
- •5. Приложение. Варианты к заданиям 195
- •1. Основы теории погрешностей
- •1.1. Математические оценки точности приближенного числа
- •1.2. Запись чисел на эвм
- •1.3. Верные знаки приближенного числа
- •1.4. Классификация погрешностей
- •1.5. Погрешность вычисления функции многих переменных
- •1.6. Обратная задача теории погрешностей
- •1.7. Погрешности простейших функций
- •1.8. Контрольные вопросы
- •1.9. Задания к главе 1
- •2. Аппроксимация функций
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3. Интерполяционная схема Эйткена
- •2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа
- •2.5. Разделенные разности и их свойства
- •2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах
- •2.7. Многочлены Чебышева и их свойства
- •2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа
- •2.9. Многочлены наилучшего равномерного приближения
- •2.10. Экономизация степенных рядов
- •2.11. Интерполирование с кратными узлами
- •2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах
- •2.12.1. Конечные разности
- •2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы
- •2.12.3. Формулы Гаусса
- •2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя
- •2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности
- •2.13. Сплайн-функции
- •2.13.1. Линейный сплайн
- •2.13.2. Параболический сплайн
- •2.13.3. Кубический сплайн
- •2.13.4. В-сплайны
- •2.13.5. Эрмитовы сплайны
- •2.14. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов (мнк)
- •2.14.1. Аппроксимация алгебраическими полиномами
- •2.14.2. Аппроксимация ортогональными полиномами
- •2.14.3. Аппроксимация ортогональными полиномами дискретной переменной
- •2.15. Аппроксимация функций многих переменных
- •2.15.1. Построение интерполяционных многочленов
- •2.15.2.Метод последовательного интерполирования
- •2.15.3. Применение метода наименьших квадратов
- •2.16. Контрольные вопросы
- •2.17. Задания к главе 2
- •3. Численное дифференцирование
- •3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах
- •3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах
- •3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге
- •3.4. Метод квадратурных формул
- •3.5. Контрольные вопросы
- •3.6. Задание к главе 3
- •4. Численное интегрирование
- •4.1. Общая интерполяционная квадратура
- •4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •4.2.2. Квадратурная формула трапеций
- •4.2.3. Квадратурная формула Симпсона (парабол)
- •4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона)
- •4.3. Метод Рунге оценки погрешности
- •4.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности
- •4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности
- •4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами
- •4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов
- •4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов
- •4.9. Методы Монте-Карло
- •4.9.1. Простейший метод Монте-Карло
- •4.9.2. Геометрический метод Монте-Карло
- •4.10. Контрольные вопросы
- •4.11. Задания к главе 4
- •5. Приложение. Варианты к заданиям
- •5.1. Варианты к заданиям 1.1
- •5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5
- •5.3. Варианты к заданиям 2.6
- •5.4. Варианты к заданиям 2.7-2.8, 3.1
- •5.5. Варианты к заданиям 4.1-4.6
- •5.6. Варианты к заданиям 4.7
2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах
Используя понятие разделенных разностей, получим новую формулу для вычисления интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого представим многочлен Лагранжа в виде
.
(2.22)
Очевидно,
разность
является многочленом степени
,
корнями которого являются узлы
С учетом этого можно записать
Константу
найдем, полагая
.
В результате получим
откуда
(2.23)
Последнее соотношение получено в силу формулы (2.21). Используя (2.23), соотношение (2.22) запишем в виде
(2.24)
Форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа в виде (2.24) носит название интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона) для неравноотстоящих узлов. В отличие от формулы Лагранжа формула Ньютона более удобна для вычислений, так как добавление одного или нескольких узлов не требует повторения всех вычислений.
Пример 2.4. Построить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, приведенной в таблице 2.1.
Сначала получим таблицу разделенных разностей
Таблица 2.4.
|
|
Разделенные разности 1-го порядка |
Разделенные разности 2-го порядка |
0 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
Выполнив расчеты по формуле (2.24), получим:
.
В силу того, что формула Лагранжа и формула Ньютона являются различными аналитическими представлениями многочлена Лагранжа то в качестве остаточного члена формулы Ньютона можно взять остаточный член в виде (2.12).
Получим новую форму остаточного члена многочлена Лагранжа. Для этого рассмотрим формулу для разделенной разности порядка, построенной по узлам , где – точка, в которой вычисляется многочлен Лагранжа. Эта формула в силу (2.21) имеет вид:
.
(2.25)
Выразив из (2.25) получим
,
(2.26)
где
– формула Лагранжа. Тогда из (2.26), учитывая
что остаточный член
,
получим новую формулу для остаточного
члена формулы Ньютона:
.
(2.27)
Формулу связи
разделенной разности с производной
получим, приравнивая правые части (2.27)
и (2.12), при этом переобозначив точку
,
как
и учитывая свойство симметричности для
разделенных разностей. Тогда имеем:
.
(2.28)
В тех случаях,
когда
плавно изменяющаяся на интервале
функция, учитывая свойство разделённой
разности (2.28), погрешность метода (2.16)
можно приближенно оценить выражением
.
(2.29)
Заметим, что для того чтобы вычислить разделенную разность, входящую в формулу (2.29), необходимо задать дополнительный узел и иметь значение функции в этом узле. Для оценки погрешности (2.29), в отличие от (2.12), уже не требуется знания функции , подлежащей интерполированию, здесь достаточно иметь только табличные значения этой функции.