2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа

Если точка не совпадает с узлом интерполирования , то погрешность интерполяционного многочлена (остаточный член)

не равна нулю.

Теорема 2.1. Если непрерывная и раз дифференцируемая функция на интервале , то существует некоторая точка , такая что остаточный член формулы Лагранжа равен:

. (2.12)

Доказательство. Рассмотрим функцию

, (2.13)

где – некоторая, пока неизвестная константа. Учитывая, что и для , функция имеет корень . Выберем константу так, чтобы и точка , не совпадающая ни с каким узлом , тоже была корнем функции . Тогда очевидно, что

, (2.14)

функция будет иметь корня . Пусть точка , тогда на концах каждого из интервала , ,…, , ,…, функция равна нулю. Сформулируем теорему Ролля. Если , то для непрерывной и дифференцируемой функции на интервале найдется не менее одной точки , в которой . Применяя эту теорему к каждому из перечисленных выше интервалов, на концах которых значения функции равны, можно утверждать, что внутри каждого интервала имеется хотя бы один корень. А это означает, что функция на интервале имеет не менее корня. Аналогично можно доказать, что на интервале имеет не менее корней и, наконец, имеет не менее одного корня. Обозначим корень уравнения переменной , тогда дифференцируя (2.13) раз и учитывая, что , получим формулу:

,

заменяя в которой на , получим уравнение для определения :

. (2.15)

Тогда из (2.15), выразив переменную и подставив ее в выражение (2.14), получается формула для остаточного члена (2.12). Теорема доказана.

Оценивая максимальное значение , получим формулу для погрешности метода при интерполировании в точке

, (2.16)

где

. (2.17)

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке оценивается значением

.

Пример 2.3. Для функции по значениям в интерполяционных узлах , , построен многочлен Лагранжа 2-ой степени. Требуется оценить погрешность при вычислении многочлена в точке . Оценим величину , где интервал интерполирования зададим по крайним узлам: , . Вычислив производную, имеем . Так как на интервале убывает, то . Погрешности метода, вычисленная по формуле (2.16), равна

.

Построенная оценка погрешности (2.16) требует знание аналитического выражения функции, подлежащей интерполированию, однако, на практике обычно неизвестна, и воспользоваться рассмотренным методом оценки погрешности нельзя. Отметим, что оценка (2.16) имеет важное теоретическое значение и в дальнейшем будет часто использоваться. На практике применяют менее строгие оценки погрешности метода, некоторые из них приведены ниже в разделах 2.7 и 2.15.6.

2.5. Разделенные разности и их свойства

Для функции заданной таблично: , , где , , построим разделенные разности первого порядка

, . (2.18)

Вычислив разделенные разности первого порядка можно определить разделенные разности второго порядка:

, . (2.19)

По аналогии можно вычислять разделенные разности и более высоких порядков, например, разделенные разности -го порядка определяются по формуле:

, (2.20)

при этом индекс должен изменяться от до . Все разделенные разности удобно представить в табличном виде, например, для таблица имеет вид:

Таблица 2.3.

		Разделенные разности 1-го порядка	Разделенные разности 2-го порядка	Разделенные разности 3-го порядка

Основное свойство разделенных разностей связывает разделенные разности с табличными значениями функции с помощью следующей формулы:

. (2.21)

Доказательство этой формулы может быть выполнено с помощью метода математической индукции. Действительно справедливость формулы (2.21) для разделенных разностей первого порядка очевидна в силу соотношения:

.

Далее, используя индуктивное предположение (2.21) и формулу (2.20) при и , легко доказывается справедливость формулы (2.21) для .

Перечислим основные следствия, которые вытекают из формулы (2.21).

Следствие 1. Разделенные разности являются симметрическими функциями своих аргументов. Это позволяет переставлять у разделенных разностей их аргументы.

Следствие 2. Разделенные разности обладают свойством аддитивности. То есть разделенная разность от суммы двух функций равна сумме разделенных разностей слагаемых, вычисленных в одних и тех же узлах.

Следствие 3. Постоянный множитель можно выносить за знак операции разделенной разности.

Следствия 2 и 3 означают, что операция взятия разделенной разности является линейной. Отметим также, что вычисление разделенной разности от многочлена понижает его степень на единицу. Ниже в разделе 2.6 мы получим свойство связи разделенных разностей с производными.