2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Определим систему
функций
в виде
.
Эти функции являются линейно независимыми.
Из условия (2.2) совпадения функций
и
в узлах имеем систему линейных
алгебраических уравнений относительно
коэффициентов
следующего вида
или в матричной форме
(2.5)
Определить системы (2.5)
,
называется
определителем Вандермонда и он не равен
нулю, если
.
Таким образом, система функции
является системой Чебышева. По теореме
Вейерштрасса функция
будет полной в классе непрерывных
функций на конечном интервале [
].
Найдем решение системы (2.5), используя правило Крамера
(2.6)
где
– определитель матрицы системы (2.5), в
которой
-ый
столбец заменен столбцом свободных
членов. Соотношение (2.6) перепишем в виде
(2.7)
где
– алгебраические дополнения элементов
-го
столбца в определителе
.
Подставим (2.7) в выражение для функции
и приведем подобные члены относительно
,
.
Тогда функция
запишется в виде
(2.8)
где
,
– многочлены степени n. Из условия
совпадения значений функций
и
в узлах, т.е.
,
в силу (2.8), получим
Отсюда
следует, что
– многочлен, корнями которого являются
узлы
и его можно построить в виде
где
– некоторая константа, которая
определяется из условия
В результате получим
Тогда функция имеет вид
(2.9)
Подставляя выражение (2.9) в (2.8), получим
(2.10)
Многочлен вида
(2.10) называется интерполяционным
многочленом Лагранжа (формула (2.10) –
формулой Лагранжа). Для того, чтобы
отличить этот многочлен от других
интерполяционных многочленов, его
обозначают
Обозначим
.
Тогда формулу Лагранжа (2.10) можно записать
в виде
(2.11)
С вычислительной точки зрения формула Лагранжа не очень удобна, так как если потребуется увеличить степень интерполяционного многочлена, то для этого добавляются к уже имеющимся узлам дополнительные узлы и все вычисления по формуле (2.11) повторяются заново. Формула (2.11) может использоваться и для построения аналитического выражения многочлена Лагранжа.
Пример 2.1. Для таблицы значений функции
Таблица 2.1.
-
0
1
1
2
2
4
требуется найти аналитическое выражение многочлена Лагранжа.
1. Найдем коэффициенты многочлена, решив систему линейных алгебраических уравнений (2.5), которая в нашем случае будет иметь вид:
.
Решение
этой системы будет следующим:
,
,
,
а соответствующее аналитическое
выражение многочлена Лагранжа имеет
вид:
.
2. Найдем решение поставленной задачи по формуле Лагранжа (2.10). Тогда
.
2.3. Интерполяционная схема Эйткена
Применение формулы Лагранжа для вычисления интерполяционного многочлена в точке неудобно из-за ее громоздкости. Существенно упростить расчет интерполяционного многочлена в конкретной точке можно, используя интерполяционную схему Эйткена, которая заключается в следующем.
На первом этапе строится последовательность многочленов первой степени по двум рядом стоящим узлам:
Очевидно,
что все построенные многочлены являются
многочленами Лагранжа (здесь
).
На втором этапе строится последовательность
многочленов Лагранжа 2-ой степени, при
этом используются многочлены, вычисленные
на предыдущем этапе. Расчеты выполняются
по формулам:
Количество таких многочленов будет на 1 меньше чем на предыдущем этапе. Наконец на n-ом этапе строится многочлен Лагранжа степени n по формуле
Это
и будет значение многочлена Лагранжа
степени n в точке
,
построенного по узлам
.
Применяя схему Эйткена, можно подключить новые узлы, увеличивая при этом степень интерполяционного многочлена, при этом не требуется полностью повторять все предыдущие вычисления заново.
Расчеты по интерполяционной схеме Эйткена можно представить в виде следующей таблицы
Таблица 2.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2.
Рассмотрим задачу вычисления многочлена
Лагранжа в заданной точке для таблицы
2.1. Расчеты выполним для точки
.
Схема Эйткена дает следующие результаты:
;
;
.
Подставив в аналитическое выражение многочлена Лагранжа, полученное в примере 2.1 значение , имеем тот же результат:
.