
- •Смагин в.И., Решетникова г.Н.
- •Содержание
- •1. Основы теории погрешностей 9
- •2. Аппроксимация функций 19
- •2.16. Контрольные вопросы 90
- •2.17. Задания к главе 2 92
- •3. Численное дифференцирование 95
- •3.5. Контрольные вопросы 110
- •4. Численное интегрирование 112
- •4.10. Контрольные вопросы 189
- •4.11. Задания к главе 4 191
- •5. Приложение. Варианты к заданиям 195
- •1. Основы теории погрешностей
- •1.1. Математические оценки точности приближенного числа
- •1.2. Запись чисел на эвм
- •1.3. Верные знаки приближенного числа
- •1.4. Классификация погрешностей
- •1.5. Погрешность вычисления функции многих переменных
- •1.6. Обратная задача теории погрешностей
- •1.7. Погрешности простейших функций
- •1.8. Контрольные вопросы
- •1.9. Задания к главе 1
- •2. Аппроксимация функций
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3. Интерполяционная схема Эйткена
- •2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа
- •2.5. Разделенные разности и их свойства
- •2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах
- •2.7. Многочлены Чебышева и их свойства
- •2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа
- •2.9. Многочлены наилучшего равномерного приближения
- •2.10. Экономизация степенных рядов
- •2.11. Интерполирование с кратными узлами
- •2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах
- •2.12.1. Конечные разности
- •2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы
- •2.12.3. Формулы Гаусса
- •2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя
- •2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности
- •2.13. Сплайн-функции
- •2.13.1. Линейный сплайн
- •2.13.2. Параболический сплайн
- •2.13.3. Кубический сплайн
- •2.13.4. В-сплайны
- •2.13.5. Эрмитовы сплайны
- •2.14. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов (мнк)
- •2.14.1. Аппроксимация алгебраическими полиномами
- •2.14.2. Аппроксимация ортогональными полиномами
- •2.14.3. Аппроксимация ортогональными полиномами дискретной переменной
- •2.15. Аппроксимация функций многих переменных
- •2.15.1. Построение интерполяционных многочленов
- •2.15.2.Метод последовательного интерполирования
- •2.15.3. Применение метода наименьших квадратов
- •2.16. Контрольные вопросы
- •2.17. Задания к главе 2
- •3. Численное дифференцирование
- •3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах
- •3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах
- •3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге
- •3.4. Метод квадратурных формул
- •3.5. Контрольные вопросы
- •3.6. Задание к главе 3
- •4. Численное интегрирование
- •4.1. Общая интерполяционная квадратура
- •4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •4.2.2. Квадратурная формула трапеций
- •4.2.3. Квадратурная формула Симпсона (парабол)
- •4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона)
- •4.3. Метод Рунге оценки погрешности
- •4.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности
- •4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности
- •4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами
- •4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов
- •4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов
- •4.9. Методы Монте-Карло
- •4.9.1. Простейший метод Монте-Карло
- •4.9.2. Геометрический метод Монте-Карло
- •4.10. Контрольные вопросы
- •4.11. Задания к главе 4
- •5. Приложение. Варианты к заданиям
- •5.1. Варианты к заданиям 1.1
- •5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5
- •5.3. Варианты к заданиям 2.6
- •5.4. Варианты к заданиям 2.7-2.8, 3.1
- •5.5. Варианты к заданиям 4.1-4.6
- •5.6. Варианты к заданиям 4.7
5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5
1. x0 = 0,35 y0 = 1,419 2. x0 = 0,32 y0 = 1,377
x1 = 0,48 y1 = 1,616 x1 = 0,73 y1 = 2,075
x2 = 0,97 y2 = 2,737 x2 = 0,97 y2 = 2,637
x3 = 1,08 y3 = 2,944 x3 = 1,13 y3 = 3,295
x4 = 1,18 y4 = 3,754 x4 = 1,52 y4 = 4,672
x5 = 1,35 y5 = 4,119 x5 = 1,59 y5 = 4,872
x6 = 2,02 y6 = 7,538
x = 0,58; x = 0,92;
3. x0 = 0,32 y0 = 1,377 4. x0 = 0,09 y0 = 1,094
x1 = 0,49 y1 = 1,619 x1 = 0,41 y1 = 1,506
x2 = 0,98 y2 = 2,638 x2 = 0,83 y2 = 2,293
x3 = 1,11 y3 = 3,334 x3 = 1,06 y3 = 2,886
x4 = 1,25 y4 = 3,590 x4 = 1,22 y4 = 3,587
x5 = 1,53 y5 = 4,618 x5 = 1,61 y5 = 5,002
x6 = 1,69 y6 = 5,228
x = 1,04; x = 0,75;
5. x0 = 0,17 y0 = 1,185 6. x0 = 0,38 y0 = 1,462
x1 = 0,64 y1 = 1,896 x1 = 0,49 y1 = 1,632
x2 = 0,78 y2 = 2,181 x2 = 0,99 y2 = 2,691
x3 = 0,89 y3 = 2,435 x3 = 1,09 y3 = 2,974
x4 = 1,14 y4 = 3,326 x4 = 1,19 y4 = 3,588
x5 = 1,50 y5 = 4,481 x5 = 1,39 y5 = 4,072
x = 0,85; x = 0,89;
7. x0 = 0,14 y0 = 1,150 8. x0 = 0,38 y0 = 1,462
x1 = 0,28 y1 = 1,323 x1 = 0,40 y1 = 1,491
x2 = 0,57 y2 = 1,768 x2 = 0,81 y2 = 2,224
x3 = 1,00 y3 = 2,918 x3 = 1,25 y3 = 3,790
x4 = 1,22 y4 = 3,387 x4 = 1,59 y4 = 4,903
x5 = 1,35 y5 = 4,109 x5 = 1,86 y5 = 6,423
x = 0,80; x = 1,12;
9. x0 = 0,18 y0 = 1,197 10. x0 = 0,40 y0 = 1,491
x1 = 0,65 y1 = 1,915 x1 = 0,66 y1 = 1,934
x2 = 0,80 y2 = 2,525 x2 = 0,83 y2 = 2,593
x3 = 0,92 y3 = 2,509 x3 = 1,27 y3 = 3,560
x4 = 1,20 y4 = 3,320 x4 = 1,37 y4 = 3,935
x5 = 1,59 y5 = 4,903 x5 = 1,46 y5 = 4,172
x6 = 1,54 y6 = 4,664
x = 1,04; x = 1,01;
11. x0 = 0,05 y0 = 1,051 12. x0 = 0,41 y0 = 1,506
x1 = 0,38 y1 = 1,462 x1 = 0,71 y1 = 2,033
x2 = 0,77 y2 = 2,159 x2 = 0,93 y2 = 2,534
x3 = 0,98 y3 = 2,864 x3 = 0,96 y3 = 2,611
x4 = 1,08 y4 = 2,944 x4 = 1,21 y4 = 3,653
x5 = 1,18 y5 = 3,619 x5 = 1,48 y5 = 4,392
x = 0,83; x = 1,03;
13. x0 = 0,48 y0 = 1,616 14. x0 = 0,07 y0 = 1,072
x1 = 0,55 y1 = 1,733 x1 = 0,44 y1 = 1,552
x2 = 0,60 y2 = 1,822 x2 = 0,89 y2 = 2,435
x3 = 0,72 y3 = 2,354 x3 = 1,20 y3 = 3,620
x4 = 0,90 y4 = 2,459 x4 = 1,47 y4 = 4,349
x5 = 1,20 y5 = 3,320 x5 = 1,59 y5 = 4,852
x6 = 1,67 y6 = 5,312
x = 0,59; x = 0,99;
15. x0 = 0,08 y0 = 1,083 16. x0 = 0,11 y0 = 1,116
x1 = 0,31 y1 = 1,363 x1 = 0,52 y1 = 1,682
x2 = 0,62 y2 = 1,858 x2 = 0,59 y2 = 7,789
x3 = 0,69 y3 = 2,249 x3 = 0,98 y3 = 2,964
x4 = 1,00 y4 = 2,718 x4 = 1,44 y4 = 4,220
x5 = 1,39 y5 = 4,014 x5 = 1,84 y5 = 6,296
x6 = 2,19 y6 = 8,935
x = 0,46; x = 0,91;
17. x0 = 0,29 y0 = 1,336 18. x0 = 0,16 y0 = 1,173
x1 = 0,40 y1 = 1,494 x1 = 0,20 y1 = 1,221
x2 = 0,81 y2 = 2,247 x2 = 0,41 y2 = 1,506
x3 = 0,83 y3 = 2,293 x3 = 0,65 y3 = 1,915
x4 = 1,27 y4 = 3,760 x4 = 1,09 y4 = 2,974
x5 = 1,72 y5 = 5,584 x5 = 1,19 y5 = 3,172
x6 = 2,11 y6 = 8,248
x = 0,34; x = 0,23;
19. x0 = 0,29 y0 = 1,347 20. x0 = 0,35 y0 = 1,419
x1 = 0,62 y1 = 1,858 x1 = 0,71 y1 = 2,033
x2 = 0,74 y2 = 2,095 x2 = 0,93 y2 = 2,534
x3 = 1,19 y3 = 3,586 x3 = 1,01 y3 = 2,945
x4 = 1,26 y4 = 3,525 x4 = 1,31 y4 = 3,706
x5 = 1,39 y5 = 4,009 x5 = 1,69 y5 = 5,419
x = 1,02; x = 0,89;
21. x0 = 0,34 y0 = 1,404 22. x0 = 0,11 y0 = 1,118
x1 = 0,49 y1 = 1,632 x1 = 0,55 y1 = 1,733
x2 = 0,99 y2 = 2,691 x2 = 0,60 y2 = 1,822
x3 = 1,15 y3 = 3,458 x3 = 1,08 y3 = 2,944
x4 = 1,31 y4 = 3,706 x4 = 1,12 y4 = 3,164
x5 = 1,62 y5 = 5,053 x5 = 1,15 y5 = 3,158
x = 0,91; x = 0,72;
23. x0 = 0,06 y0 = 1,061 24. x0 = 0,35 y0 = 1,433
x1 = 0,29 y1 = 1,336 x1 = 0,75 y1 = 2,417
x2 = 0,58 y2 = 1,786 x2 = 1,01 y2 = 2,745
x3 = 0,81 y3 = 2,744 x3 = 1,15 y3 = 3,158
x4 = 0,90 y4 = 2,459 x4 = 1,55 y4 = 4,711
x5 = 1,22 y5 = 3,387 x5 = 1,69 y5 = 4,972
x = 0,48; x = 0,91.