4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов

Интеграл называется собственным, если:

1. промежуток интегрирования конечен;

2. подынтегральная функция непрерывна на .

В противном случае интеграл называется несобственным.

Пусть промежуток интегрирования бесконечен. Достаточно рассмотреть вычисление несобственного интеграла вида

, (4.35)

где функция непрерывна на .

Интеграл (4.35) называется сходящимся, если существует конечный предел

(4.36)

и по определению полагают

.

Если предел (4.36) не существует, то интеграл (4.35) называется расходящимся и считается лишенным смысла. Поэтому прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, необходимо предварительно убедиться, что этот интеграл сходится.

Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (4.35) с заданной точностью , представляют его в виде

.

В силу сходимости интеграла, число необходимо выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство

.

Собственный интеграл можно вычислить по одной из квадратурных формул. Пусть ─ приближенное значение этого интеграла, вычисленное с точностью . Тогда

и поставленная задача решена.

Предположим, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция имеет конечное число точек разрыва на . Так как всегда можно промежуток интегрирования разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подынтегральной функции, то достаточно рассмотреть случай, когда на имеется единственная точка разрыва функции .

Пусть в точке функция имеет разрыв первого рода, т.е. существуют конечные односторонние пределы

В этом случае можно положить

,

где

и

Так как функции являются непрерывными соответственно на отрезках , то исходный интеграл сводится к сумме двух собственных интегралов.

Пусть в точке функция имеет разрыв второго рода. Если точка есть внутренняя точка отрезка , то по определению полагают

(4.37)

и в случае существования этого предела интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла, если точка разрыва функции совпадает с одним из концов промежутка интегрирования .

Для приближенного вычисления с заданной точностью сходящегося несобственного интеграла (4.37) задают положительные числа столь малыми, чтобы имело место неравенство

.

Затем по известным квадратурным формулам приближенно вычисляют собственные интегралы

и

и, если − приближенные значения этих интегралов, вычисленные с точностью , то полагают

с точностью .

4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления неопределенного интеграла

(4.38)

в точках . В общем случае, когда узлы неравноотстоящие, эту задачу можно решить, вычислив определенные интегралы

.

В случае равноотстоящих узлов, , , для решения поставленной задачи существуют простые рекуррентные формулы вида

. (4.39))

Обозначим .

При построении начала таблицы неопределенного интеграла, необходимо функцию аппроксимировать с помощью 1-ой формулы Ньютона при

, (4.40)

где , , – конечные разности соответствующих порядков. Тогда, при вычислении интеграла (4.39), получим:

, (4.41)

при этом из (4.38) следует, что .

Ошибку вычисления интеграла (4.41) можно оценить, вычислив интеграл

,

где – остаточный член 1-ой формулы Ньютона. Подставив в (4.41) формулу (4.39), получим расчетную формулу

. (4.42)

Далее вычисляется по формуле

. (4.43)

Выполнив несколько шагов (обычно 2 или 3), можно для аппроксимации подынтегральной функции в (4.39) перейти к формуле Бесселя при :

(4.44)

Подставив в (4.44) формулу (4.39), получим расчетную формулу

. (4.45)

Ошибку вычисления по формуле (4.45) можно оценить, вычислив интеграл

, (4.46)

где – остаточный член формулы Бесселя.

Когда начнет приближаться к значениям, близким к , необходимо, при аппроксимации подынтегральной функции, перейти ко 2-ой формуле Ньютона.

Таким образом, рассмотренный метод вычисления неопределенного интеграла при равноотстоящих узлах, сводится к простым рекуррентным формулам.