4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами

Квадратурное правило, все коэффициенты которого одинаковы,

(4.30)

особенно удобно при графических расчетах, так как сумму ординат можно достаточно легко снять с чертежа.

Будем считать, что весовая функция не эквивалентна нулю, т.е.

.

Формула (4.30) содержит параметр: Эти параметры будем выбирать таким образом, чтобы правило (4.30) выполнялось точно для многочленов степени , что равносильно выполнению равенств

(4.31)

Правила интегрирования, обладающие этим свойством, называются квадратурными правилами Чебышева.

Теорема 4.9. Если , то квадратурное правило (4.30), точное для всех алгебраических многочленов степени не выше , с действительными или комплексными узлами всегда может быть построено и при этом единственным способом.

Доказательство. Условие точного выполнения равенства (4.30) для многочлена нулевой степени даст уравнение для нахождения коэффициента

и

. (4.32)

Если равенство (4.31) записать для , то для нахождения значений получится система уравнений

(4.33)

Полученная система является нелинейной и процесс нахождения ее решения достаточно сложный. Поэтому будем искать не узлы , а строить многочлен, для которого эти узлы будут корнями

.

Коэффициенты , являются симметрическими функциями корней , (соотношениями Виетта) и также являются симметрическими функциями корней, причем справа в (4.33) указаны их значения. Из алгебры известны соотношения, связывающие и ,

(4.34)

Соотношения (4.34) позволяют по известным значениям найти последовательно и при этом единственным образом значения . Затем по коэффициентам , можно построить многочлен и, решив уравнение , найти узлы , квадратурного правила (4.30).

Замечание 4.3. Бернштейном доказано, что при и для всех , среди есть комплексные.

Рассмотрим частный случай квадратурного правила Чебышева, когда весовая функция и интеграл имеет вид

.

Так как всякий конечный отрезок интегрирования линейной заменой переменных

преобразуется в отрезок , то квадратурное правило записывается в виде:

.

Будем считать, что отрезок интегрирования приведен к интервалу и квадратурное правило имеет вид

.

Так как

,

то

и . Значения , согласно (4.34), определяются следующим образом:

.

Тогда уравнения (4.34) запишутся в виде

,

,

,

,

Значения с нечетными индексами получились равными и в многочлене сохраняются только либо одни четные, либо одни нечетные степени

.

В таблице 4.5. приведены значения узлов правила Чебышева для .

Таблица 4.5.

	=0,0000000
	= 0,5773502
	= 0,7071067 = 0,0000000
	= 0,7946544 = 0,1875924
	= 0,8324974 = 0,3745414 = 0,0000000
	= 0,8662468 = 0,4225186 = 0,26663540
	= 0,8838617 = 0,5296567 = 0,3239118 = 0,0000000

Замечание 4.4. Можно уточнить значение интеграла путем деления интервала интегрирования на равных частей. В этом случае используется только табличных узлов, а значение интеграла вычисляется по узлам.

Квадратурная формула Чебышева для вычисления интеграла путем деления интервала интегрирования на равных частей имеет вид

.

Пример 4.14. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

Если вычислять интеграл при , используя данные таблицы 4.5., то получим . Вычисляя интеграл при тех же значениях путем деления интервала на две части , получим , а при − .