4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности

Приведенные теоремы доказывают справедливость следующего утверждения: если весовая функция сохраняет знак на , то квадратурное правило (4.25), верное для всех многочленов степени не выше , существует при всех и является единственным для каждого . При этом для знакопостоянной весовой функции степень точности является наивысшей возможной. Таким образом, для конкретной весовой функции существует единственный многочлен ортогональный по весу на любому многочлену степени меньше , корни которого являются узлами квадратурного правила, а выражение (4.28) определяет коэффициенты этого правила.

I. Интегралы вида

Пусть − произвольный конечный отрезок. Тогда, с помощью линейной замены переменной

,

где , интеграл

и соответствующая квадратурная формула, преобразуются к виду:

Поэтому будем считать, что исходный интеграл приведен к виду

.

Систему многочленов, ортогональную на с весом , образуют многочлены Лежандра:

:

,

,

,

,

.

Соответствующая квадратурная формула называется формулой Гаусса и имеет вид

,

где коэффициенты вычисляются следующим образом

,

а погрешность, в предположении, что имеет непрерывную производную порядка на , равна

.

Узлы , должны располагаться в корнях многочлена Лежандра степени , для которых нет общей формулы.

В таблице 4.2. приведены значения узлов и соответствующих коэффициентов квадратурной формулы Гаусса для значений .

Таблица 4.2.

	= 2,0000000	=+0,0000000
	= 1,0000000 = 1,0000000	= –0,5773502 = +0,5773502
	= 0,5555555 = 0,8888888 = 0,5555555	= –0,7745966 = +0,0000000 = +0,7745966
	= 0,3478548 = 0,6521451 = 0,6521451 = 0,3478548	= –0,8611363 = –0,3399810 = +0,3399810 = +0,8611363
	= 0,2369268 = 0,4786286 = 0,5688888 = 0,4786286 = 0,2369268	= –0,9061798 = –0,5384693 = +0,0000000 = +0,5384693 = +0,9061798
	= 0,1713244 = 0,3607615 = 0,4679139 = 0,4679139 = 0,3607615 = 0,1713244	= –0,9324695 = –0,6612093 = –0,2386191 = +0,2386191 = +0,6612093 = +0,9324695
	= 0,1294849 = 0,2797053 = 0,3818300 = 0,4179591 = 0,3818300 = 0,2797053 = 0,1294849	= –0,9491079 = –0,7415311 = –0,4058451 = 0,0000000 = 0,4058451 = 0,7415311 = 0,9491079

Замечание 4.2. Можно уточнить значение интеграла двумя способами.

1. Увеличить количество табличных узлов. Но это затрудняет организацию вычислений, так как обычно заранее не известно, какое количество узлов потребуется для вычисления интеграла с заданной точностью.

2. Делить интервал интегрирования на равных частей, вычислять интеграл на каждом частичном отрезке по одним и тем же табличным значениям , и суммировать результаты. В этом случае используется только табличных узлов, а значение интеграла вычисляется по узлам.

Квадратурная формула Гаусса для вычисления интеграла путем деления интервала интегрирования на равных частей имеет вид

.

Пример 4.5. Вычислим методом Гаусса интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

.

Если вычислять интеграл при , используя узлы и коэффициенты квадратурной формулы из таблицы 4.2., то получим . Вычисляя интеграл при тех же значениях путем деления интервала на две части , получим , а при − .

II. Интегралы вида

Пусть − любой конечный отрезок и на нем задана весовая функция

,

где . Интеграл

переводится в интервал линейной заменой переменной

,

где . Тогда

В связи с этим будем предполагать, что интеграл задан в виде

.

Ортогональной системой многочленов на отрезке , соответствующей весу

,

является система многочленов Якоби . Поэтому в квадратурной формуле, имеющей наивысшую алгебраическую степень точности , узлы должны совпадать с корнями многочлена Якоби степени .

Рассмотрим частные случаи квадратурных формул.

1. При весовая функция имеет вид

.

Соответствующие многочлены Якоби только постоянным множителем отличаются от многочленов Чебышева первого рода

.

Узлы квадратурного правила располагаются в корнях многочлена Чебышева и вычисляются следующим образом

,

квадратурные коэффициенты равны

и для всех получаются одинаковыми

.

Квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности с весом имеет вид

,

где погрешность в предположении, что имеет непрерывную производную порядка на , определяется выражением

.

Пример 4.6. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

,

где

.

Для получается .

2. При весовая функция будет иметь вид . Соответствующие многочлены Якоби только постоянным множителем отличаются от многочленов Чебышева второго рода

.

Узлы квадратурного правила располагаются в корнях многочлена Чебышева и вычисляются следующим образом

,

квадратурные коэффициенты равны

.

Квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности с весом имеет вид

Погрешность определяется выражением

.

Пример 4.7. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

,

где

.

Для получается .

3. При весовая функция будет иметь вид . Соответствующие многочлены Якоби имеют вид

.

Узлы квадратурного правила располагаются в корнях многочлена и вычисляются следующим образом

,

квадратурные коэффициенты равны

.

Квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности с весом имеет вид

Погрешность определяется выражением

.

Пример 4.8. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

,

где

.

Для получается .

III. Интегралы вида

Всякий конечный отрезок линейной заменой переменных

,

где , преобразуется в отрезок . Тогда интеграл и соответствующее квадратурное правило примут вид:

Поэтому будем считать, что исходный интеграл задан в виде

.

1. При многочлены , ортогональные по весу на отрезке , связаны с многочленами Лежандра равенством

.

В квадратурной формуле наивысшей степени точности

узлы являются квадратами положительных корней лежандрова многочлена , коэффициенты вычисляются по формуле

,

а погрешность определяется выражением

.

В таблице 4.3. приведены значения узлов и соответствующих коэффициентов квадратурной формулы для значений .

Таблица 4.3.

	=0,6666667	=0,6000000
	= 0,2775560 = 0,3891107	= 0,2899492 = 0,8211619
	= 0,1257827 = 0,3076024 = 0,2332816	= 0,1647103 = 0,5498685 = 0,9008058
	= 0,0656805 = 0,1960963 = 0,2525273 = 0,1523625	= 0,1051403 = 0,3762245 = 0,6989480 = 0,9373343
	= 0,0381873 = 0,1256732 = 0,1986308 = 0,1976334 = 0,1065420	= 0,0726535 = 0,2694608 = 0,5331220 = 0,7868801 = 0,9569313
	= 0,0240362 = 0,0836026 = 0,1470106 = 0,1784601 = 0,1551302 = 0,0784269	= 0,0531110 = 0,2011457 = 0,4126127 = 0,6425274 = 0,8419868 = 0,9686163
	= 0,0160646 = 0,0578421 = 0,1084106 = 0,1464881 = 0,1541923 = 0,1236305 = 0,0600382	= 0,04047906 = 0,1553553 = 0,3260092 = 0,5247810 =0,7194544 = 0,8784814 = 0,9761292

Пример 4.10. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

,

где выбираются из таблиц для конкретного значения .

Для получается .

2. При многочлены , ортогональные по весу на отрезке , связаны с многочленами Лежандра равенством

.

В квадратурной формуле наивысшей степени точности

узлы являются квадратами положительных корней многочлена Лежандра , коэффициенты вычисляются по формуле

,

а погрешность определяется выражением

.

В таблице 4.4. приведены значения узлов и соответствующих коэффициентов квадратурной формулы для значений .

Таблица 4.4.

	=2,0000000	=0,3333333
	= 1,3042903 = 0,6957097	= 0,1155871 = 0,7415557
	= 0,9358279 = 0,7215231 = 0,3426490	= 0,0569391 = 0,4371979 = 0,8694994
	= 0,7253676 = 0,6274133 = 0,4447621 = 0,2024571	= 0,03364827 = 0,2761843 = 0,6346775 = 0,9221566
	= 0,5910484 = 0,5385334 = 0,4381727 = 0,2989027 = 0,1333427	= 0,02216357 = 0,1878316 = 0,4615974 = 0,7483346 = 0,9484939
	= 0,4982941 = 0,4669851 = 0,4063349 = 0,3201567 = 0,2138787 = 0,0943506	= 0,0156834 = 0,1353000 = 0,3449424 = 0,5927501 = 0,8174280 = 0,9634613
	= 0,4305277 = 0,4103969 = 0,3710768 = 0,3144063 = 0,2430371 = 0,1603162 = 0,0702389	= 0,0116758 = 0,1018327 = 0,2654812 = 0,4723715 = 0,6842620 = 0,8619913 = 0,9727558

Пример 4.11. Вычислим интеграл

.

С помощью замены переменной

интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду

,

где выбираются из таблиц для конкретного значения .

Для получается .

IV. Интегралы вида

C помощью замены переменной , где , интеграл и соответствующее квадратурное правило, можно привести к виду

.

Поэтому будем считать, что исходный интеграл задан в виде

.

На луче свойством ортогональности с весом обладают многочлены Лагерра

:

…

.

В квадратурной формуле наивысшей степени точности

узлы являются корнями многочлена Лагерра , коэффициенты вычисляются по формуле

,

а погрешность определяется соотношением

.

Для корней многочлена Лагерра не существует общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Пример. 4.12. При квадратурная формула вычисления интеграла имеет вид

.

V. Интегралы вида

На интервале свойством ортогональности с весом обладают полиномы Эрмита

:

…

В квадратурной формуле наивысшей степени точности

узлы являются корнями многочлена Эрмита , коэффициенты вычисляются по формуле

,

а погрешность определяется соотношением

.

Для корней многочлена Эрмита не существует общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Пример. 4.13. При квадратурная формула Эрмита имеет вид

.