4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Частными случаями интерполяционного квадратурного правила являются правила Ньютона-Котеса. Эти правила с равноотстоящими узлами были предложены Ньютоном, а Котесом была составлена таблица коэффициентов для случая постоянной весовой функции при .

Квадратурное правило Ньютона-Котеса записывается в виде:

, (4.5)

где .

Коэффициенты в (4.5), учитывая выражение (4.3) для , вычисляются по формуле:

.

Если ввести новую переменную , положив , то

,

,

якобиан преобразования равен , и выражение для коэффициентов примет вид

. (4.6)

В случае постоянной весовой функции выражение (4.6) примет вид

(4.7)

и формула для остатка квадратуры Ньютона-Котеса запишется следующим образом:

. (4.8)

Для , коэффициенты принимают конкретные значения:

, ,

, , ,

, , ,

, , , ,

и т.д.

Коэффициенты являются рациональными числами и обладают следующими свойствами:

1. при каждом , в чем легко убедиться, если в (4.5) положить и учесть, что в этом случае ;

2) из первого свойства следует, что при ;

3) ;

4) при и для всех среди встречаются отрицательные, причем абсолютные величины значений быстро растут с ростом .

Последнее свойство коэффициентов является существенным при определении погрешности вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы. Так, если значения подынтегральной функции известны с абсолютной погрешностью , то неустранимая погрешность вычисления интеграла с помощью квадратурной суммы

(4.9)

может быть оценена величиной

,

при этом значения при увеличении быстро растут. Например,

.

Поэтому при больших значениях незначительные погрешности в значениях функций могут привести к большой погрешности в квадратурной сумме (4.9). В связи с этим формулы Ньютона-Котеса используются только при малых значениях . Для уменьшения погрешности результата отрезок разбивают на отрезков. К каждому полученному отрезку применяют квадратурную формулу с малым числом узлов и результаты суммируют. При этом, так как погрешность метода для формулы Ньютона-Котеса можно представить в виде , где − медленно изменяющаяся функция на , а погрешность той же формулы, примененной к отрезку длиной , равна , то в результате суммирования погрешностей получим

.

Таким образом, погрешность вычисления интеграла за счет деления интервала интегрирования на частей, уменьшилось в раз.

Заметим, что если середина интервала является узлом квадратурного правила, то точность правила увеличивается на единицу.

Получим конкретные формулы Ньютона-Котеса для , которые используются чаще всего. При этом, приведем и соответствующие обобщенные формулы, которые получаются путем деления отрезка на частей и суммирования значений интегралов, вычисленных на каждой из этих частей.

4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников

Коэффициент квадратурного правила . В качестве узла квадратурного правила на интервале можно выбрать любую точку. Обычно выбирают среднюю или крайние точки и в соответствии с этим получают различные квадратурные формулы.

1. Формула левых прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается левый конец интервала , т.е. точка . Тогда квадратурная формула называется формулой левых прямоугольников и записывается в виде

, (4.10)

где

и − некоторая точка интервала .

Формула (4.10) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

В силу теоремы о среднем, так как множитель не меняет знак на и предполагается непрерывной на , существует точка такая, что

.

Разделим отрезок на отрезков длиной и к каждому отрезку применим формулу левых прямоугольников. Тогда

.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу левых прямоугольников

, (4.11)

где . При этом погрешности также суммируются, то есть

.

В силу предположения о непрерывности на и согласно теореме о среднем, существует точка такая, что

Тогда погрешность обобщенной формулы левых прямоугольников примет вид

.

2. Формула правых прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается правый конец интервала , т.е. точка . Тогда квадратурная формула называется формулой правых прямоугольников и записывается в виде

, (4.12)

где

.

Формула (4.12) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Разделив отрезок на отрезков длиной , применив к каждому отрезку формулу левых прямоугольников и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу правых прямоугольников

. (4.13)

Погрешность формулы (4.13) запишется в виде

.

3. Формула средних прямоугольников.

В качестве узла квадратурного правила выбирается средняя точка интервала , то есть точка . Тогда квадратурная формула называется формулой средних прямоугольников и имеет вид

(4.14)

Формула (4.14) означает, что площадь под кривой на заменяется площадью прямоугольника с основанием и высотой .

Так как середина интервала является узлом квадратурной формулы, то эта формула будет точной для всех многочленов первой степени. Тогда функцию можно представить в виде

где ─ многочлен Тейлора первой степени, удовлетворяющий условиям

Остаточный член при кратном интерполировании в предположении, что имеет непрерывные производные второго порядка, имеет вид

где − некоторая точка интервала . Тогда

.

Так как множитель и непрерывна на , то, согласно теореме о среднем, существует такая точка что

.

Разделим отрезок на частей длиной и к каждому отрезку применим формулу средних прямоугольников (4.14). Тогда

.

Просуммировав результаты по всем отрезкам, получим обобщенную формулу средних прямоугольников

(4.15)

Погрешность формулы (4.15) можно записать, просуммировав по всем отрезкам, то есть

.

Согласно теореме о среднем и в предположении о непрерывности на , погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников запишется в виде

(4.16)