3.5. Контрольные вопросы

1. Как осуществляется операция численного дифференцирования при неравноотстоящих узлах?

2. Как оценивается остаточный член при численном дифференцировании при неравноотстоящих узлах?

3. Каков принцип численного дифференцирования при равноотстоящих узлах?

4. Как определяется порядок точности формулы численного дифференцирования?

5. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

6. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

7. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную первого порядка?

8. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную второго порядка?

9. Какой порядок точности у формулы , оценивающей производную второго порядка?

10. Укажите, как зависит порядок точности формулы, оценивающей производную, от количества табличных значений функции, входящих в эту формулу?

11. Укажите, как неустранимая погрешность численного дифференцирования зависит от величины шага таблицы?

12. Укажите, как полная погрешность численного дифференцирования зависит от величины шага таблицы?

13. Как осуществляется оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге?

14. Как можно увеличить порядок точности вычисления производной на единицу, используя принцип Рунге?

15. Укажите, как применяется метод квадратурных формул для выполнения операции численного дифференцирования?

16. Укажите, как связано количество узлов таблицы с порядком многочлена , для которого квадратурная формула вычисления производных точна?

3.6. Задание к главе 3

Задание 3.1. Для функции заданной в виде таблицы на равномерной сетке , , оценить значение первой производной в точках , и . Определить погрешности считая, что табличные значения заданы с верными знаками , , и .

Варианты исходных данных приведены в п. 5.4.

4. Численное интегрирование

Вычисление интегралов необходимо применять при решении многих практических задач. Например, если для функциональной зависимости, заданной в виде таблицы, необходимо оценить некоторый интегральный показатель. Такая проблема может возникнуть в различных предметных областях, таких как физика, техника, медицина, экономика и др. Примером интегрирования в экономике может служить задача вычисления общего количества востребованного товара за определенный период времени в зависимости от интенсивности спроса. В этом случае решением задачи является интеграл:

,

где − интенсивность спроса в момент времени .

Известно также, что для некоторых функций, заданных аналитически, невозможно вычислить определенный интеграл, используя понятие первообразной. Однако эту задачу можно решить, с помощью численных методов.

Основные численные методы вычисления интегралов делятся на детерминированные и вероятностные. Суть детерминированных методов заключается в том, что для последовательности справедливо соотношение

,

а для вероятностных −

,

где − точное значение интеграла, − приближенное значение интеграла, вычисленное на -ом шаге, − вероятность события, − требуемая точность вычислений.