3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге
Пусть
требуется оценить погрешность приближения
производной некоторого порядка
,
вычисленной в точке
.
Обозначим эту производную
.
Будем также предполагать, что метод
вычисления производной имеет порядок
точности
.
(3.29)
Найдем
,
используя два приближенных значения
производной, вычисленных с шагом
и
.
Обозначим эти значения
и
.
Тогда с точность до
справедливы следующие приближенные
соотношения
,
(3.30)
.
(3.31)
Приравняв выражения (3.30) и (3.31), получим выражение для :
.
Тогда
погрешность вычисления производной в
точке
с шагом
определится по формуле:
.
(3.32)
Полученный результат можно использовать для определения шага таблицы с равноотстоящими узлами, который обеспечивает минимум погрешности метода. Из уравнения
,
где
– желаемая точность вычисления
производной, находим шаг таблицы
.
Используя формулу (3.30), можно также на единицу увеличить порядок точности вычисления производной :
.
(3.33)
Формула
(3.33) позволяет по результатам двух
вычислений производной с порядком
аппроксимации
найти значение производной с повышенным
порядком точности равным
.
Пример 3.4. Пусть первая производная вычисляется по двум формулам
,
,
имеющим
первый порядок точности. В соответствии
с (3.33) построим новую формулу при
,
,
(3.34)
которая будет иметь второй порядок точности. Отметим, что формула (3.34) была получена ранее (см. пример 3.1) методом дифференцирования интерполяционной формулы Лагранжа.
3.4. Метод квадратурных формул
Пусть известны значения функции в узловых точках , . В разделе 3.1 задача численного дифференцирования решалась посредством дифференцирования интерполяционных формул. Однако существует другой подход, который основан на использовании квадратурных формул. Квадратурная формула вычисления производной -го порядка имеет вид:
.
(3.35)
Коэффициенты
выбираются таким образом, чтобы формула
(3.35) была точной для любой
,
являющейся многочленом степени не выше
.
Тогда говорят, что квадратурная формула
(3.35) имеет порядок алгебраической
точности равный
.
Любой многочлен степени записывается в виде:
,
(3.36)
где
– произвольные вещественные числа.
Потребуем, чтобы соотношение (3.35) при
условии (3.36) обращалось в равенство
.
(3.37)
Равенство (3.37) должно выполняться для любого многочлена степени . Для этого достаточно, чтобы коэффициенты при в левой и правой части (3.37) были одинаковы. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов :
,
.
(3.38)
При число уравнений в (3.38) и число неизвестных будет совпадать, матрица системы будет матрицей Вандермонда, а значит невырожденной. Решив систему (3.38), можно по квадратурной формуле вычислить производную функции -го порядка. Для вычисления производной в другой точке, необходимо пересчитать коэффициенты из системы (3.38) и повторить расчеты по формуле (3.35).
Отметим, что метод квадратурных формул нашел применение для численного дифференцирования функций многих переменных. Численное дифференцирование функций многих переменных можно также реализовать, используя аналитические формулы многомерной аппроксимации, приведенные в п. 2.15.