3. Численное дифференцирование

Численное дифференцирование применяется, если непосредственное дифференцирование функции, заданной аналитически, затруднительно, а также, если требуется найти производную функции, заданной в виде таблицы. Численное дифференцирование позволяет определять такие важные характеристики как скорость и ускорение изменения величин. Например, в экономике оценка первой производной может быть использована для определения темпа изменения какого-либо экономического показателя. Численное дифференцирование широко используется при решении дифференциальных уравнений разностными методами.

Основная идея, используемая при численном дифференцировании, заключается в том, что функция, заданная таблично или аналитически, заменяется аппроксимирующей функцией

. (3.1)

Здесь – аппроксимирующая функция, – остаточный член. Вычислив производную порядка

, (3.2)

пренебрегая остаточным членом, получим формулу численного дифференцирования

. (3.3)

Отметим, что пользоваться формулой (3.3) можно при малых .

Следует обратить внимание на неустойчивость в задаче вычисления производной. Действительно, при малых изменениях функции на малом интервале вблизи точки , в которой оценивается производная, можно получить другую функцию с любым заданным значением производной в этой точке. Это замечание говорит о том, что при реализации операции численного дифференцирования необходимо контролировать результат, например, осуществлять расчеты повторно другим методом.

3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах

При расчетах значений производных, в случае неравноотстоящих узлов можно использовать формулу Лагранжа. Например, при вычислении первой производной в точке , не совпадающей с узлами таблицы , , получим формулу

. (3.4)

Ошибка операции численного дифференцирования может быть определена по производной остаточного члена многочлена Лагранжа

=

. (3.5)

В (3.5) слагаемое присутствует по той причине, что точка зависит от значения .

Если же вычислению подлежит значение в узле , то можно воспользоваться формулой:

, (3.6)

где второе слагаемое получено из (3.4) с использованием правила Лопиталя. Оценка погрешности в этом случае упрощается, так как первое слагаемое в (3.5) обращается в ноль, и тогда ошибка будет равна

.

По аналоги можно получить формулы численного дифференцирования для производных более высоких степеней.

Пример 3.1. Выведем формулы численного дифференцирования, полученные на основе дифференцирования формулы Лагранжа для следующей таблицы

Таблица 3.1.

	0	0,5	1,0
	1,5	1,1	1,7

Построим сначала многочлен по двум узлам и :

,

где .

Остаточный член имеет вид

.

Продифференцировав эти формулы, получим:

. (3.7)

Вычислим производную остаточного члена для узла , учитывая формулу (3.6):

. (3.8)

Формула (3.7) дает выражение для 1-ой производной и имеет первый порядок точности.

Построим многочлен Лагранжа по трем узлам и его производную:

,

. (3.9)

Вычислим значения первой производной по формуле (3.9) и остаточные члены по формуле (3.6) в узловых точках:

, ,

, ,

, .

Итак, вычислив значения первой производной по трем узлам, получаем формулы с точность 2-го порядка. Увеличив число узлов на единицу, порядок точности формул для вычисления 1-ой производной также увеличится на единицу. То есть порядок точности формул для производных первого порядка на единицу меньше числа узлов. Отметим, что для вычисления потребовались значения функции в двух точках, при этом порядок точности такой же, как для трех точек. Причиной этого является то, что вычисляется по формуле центральных разностей.

В случае численного дифференцирования при неравноотстоящих узлах можно воспользоваться также формулой Ньютона (2.24). Тогда, представив многочлен Ньютона в виде

, (3.10)

где , получим:

(3.11)

Если первая производная в (3.11) оценивается по первому слагаемому, то она имеет первый порядок точности, если по первым двум слагаемым, то ее порядок точности будет равен 2 и т.д.

По аналогии можно вычислить и другие производные, например, численно оценить производную 2-го порядка можно по формуле

. (3.12)

Пример 3.2. Таблица значений функции имеет вид:

Таблица 3.2.

	0,1	1,1	1,4	1,7
	2,235	1,347	1,125	1,016

Требуется найти аналитическое выражение для оценки второй производной функции. Таблица разделенных разностей для заданной функции имеет вид (см. п. 2.5):

Таблица 3.3.

		Разделенные разности 1-го порядка	Разделенные разности 2-го порядка	Разделенные разности 3-го порядка
0,1	2,235	-8,800	6,055	-0,036
1,1	1,347	-2,220	6,004
1,4	1,125	0,182
1,7	1,016

Тогда выполнив расчеты по формуле (3.12) получим:

.

Остаточный член для этой формулы можно вычислить, продифференцировав формулу (3.5) по .