2.15.2.Метод последовательного интерполирования

Метод последовательного интерполирования существенно упрощает решение задачи. Метод заключается в последовательном применении интерполяционных формул для функций одной переменной. Суть метода поясним на конкретном примере. Пусть в таблице 2.14 при , требуется вычислить значение аппроксимирующей функции в точке с координатами , . Эта точка и узлы таблицы приведены на рис. 2.9

Рис. 2.9. Расположение точек на плоскости

Применяя одномерную интерполяцию, например, многочлены Лагранжа, вычислим значения функции двух переменных в трех точках, которые на рис. 2.9 помечены крестиками. В результате получим три числа:

, ( ). (2.162)

Далее при фиксированном вычисляется многочлен Лагранжа по трем узлам, который и даст значение, аппроксимирующее функцию двух переменных в точке с координатами , :

. (2.163)

В (2.162) и (2.163)

,

.

Отметим, что метод последовательного интерполирования можно использовать, если исходная таблица имеет не полные данные, например, если в рассмотренной выше задаче отсутствует значение , что соответствует правому верхнему узлу на рис. 2.9, то это приведет лишь к тому, что будет вычислен не по 4 узлам, как в формуле (2.162), а по 3 узлам.

2.15.3. Применение метода наименьших квадратов

Рассмотрим возможность применения метода наименьших квадратов к задаче аппроксимации функции двух переменных. Аппроксимирующую функцию будем задавать в виде:

, (2.164)

где , заданные базисные функции. Точки на плоскости заданы в виде:

, .

Вычислим среднеквадратическое отклонение

,

где

,

Коэффициенты найдем из условия:

. (2.165)

Введем в рассмотрение вектор

, (2.166)

где матрица и вектор равны:

, . (2.167)

Вектор ошибок можно представить в виде

,

где . Учитывая (2.166), и равно:

. (2.168)

В (2.168) обозначает след матрицы (сумму диагональных элементов матрицы). Последнее соотношение в (2.168) получено в силу очевидного свойства для матрицы и векторов :

.

Найдем минимум (2.165) из условия:

. (2.169)

Тогда, применяя правила дифференцирования следа от матрицы по векторному или матричному аргументу

,

(здесь – некоторые векторы или матрицы), получим:

. (2.170)

В силу условия (2.169) из соотношения (2.170) получим уравнение

,

решение, которого и даст аналитическое выражение для вектора неизвестных параметров :

. (2.171)

В (2.171) матрица Грама должна быть невырожденной.

Отметим, что метод наименьших квадратов может быть легко обобщен на случай аппроксимации функций с большим количеством переменных. Основная трудность в этом методе заключается в выборе базисных функций. Однако в некоторых случаях базисные функции могут быть выбраны достаточно просто.

Пример. 2.13. Требуется построить по данным

,

представленным в таблице

Таблица 2.15.

0	47	40	25
1	46	26	21
2	50	35	24
3	46	31	22
4	41	28	20
5	55	32	25

аналитическое выражение для производственной функции типа Кобба-Дугласа, которое используется достаточно часто в экономических расчетах:

, (2.172)

где параметры, подлежащие определению. Прологарифмировав (2.172), в результате получим:

.

Тогда в качестве базисных функций естественно взять следующие:

, , .

Матрица и вектор в данной задаче имеют вид:

, .

Выполнив расчеты по формуле (2.171), найдем вектор :

.

Окончательно имеем:

, , .

На рис. 2.10 приведена поверхность, иллюстрирующая производственную функцию типа Кобба-Дугласа , которая построена в области: , .

Рис. 2.10. Поверхность функции Кобба-Дугласа