3.5. Контрольные вопросы 110

3.6. Задание к главе 3 111

4. Численное интегрирование 112

4.1. Общая интерполяционная квадратура 113

4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса 117

4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников 120

4.2.2. Квадратурная формула трапеций 125

4.2.3. Квадратурная формула Симпсона (парабол) 126

4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона) 128

4.3. Метод Рунге оценки погрешности 130

4.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 133

4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности 143

4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами 162

4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов 168

4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов 171

4.9. Методы Монте-Карло 174

4.9.1. Простейший метод Монте-Карло 175

4.9.2. Геометрический метод Монте-Карло 180

4.10. Контрольные вопросы 189

4.11. Задания к главе 4 191

5. Приложение. Варианты к заданиям 195

5.1. Варианты к заданиям 1.1 195

5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5 197

5.3. Варианты к заданиям 2.6 199

5.4. Варианты к заданиям 2.7-2.8, 3.1 200

5.5. Варианты к заданиям 4.1-4.6 202

5.6. Варианты к заданиям 4.7 203

ЛИТЕРАТУРА 205

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика» и «Математические методы в экономике» и соответствует содержанию Государственного образовательного стандарта по дисциплине «Численные методы». Учебное пособие включает основные понятия теории погрешностей, теорию аппроксимации функций, методы численного дифференцирования и интегрирования. Изучение этих разделов дает необходимые знания для студентов данных специальностей и служит основой для изучения других дисциплин, преподаваемых на старших курсах. В учебном пособии изложены теоретические вопросы дисциплины, в нем содержится большое количество примеров, контрольных вопросов и заданий для организации компьютерного практикума. В приложении приведены варианты исходных данных к заданиям.

Учебное пособие может быть полезным для студентов, обучающихся по математическим, инженерно-техническим и экономическим специальностям, а также для специалистов, желающих познакомиться с методами численного решения практических задач.

Авторы будут благодарны за любые замечания и предложения по содержанию и оформлению учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Численные методы находят применение всюду, где рассматриваются явления и процессы, подчиняющиеся количественным оценкам. Эти явления и процессы возникают в различных сферах и областях, например, в физике, технике, экономике, механике, астрономии, биологии, медицине и т.д.

Известно, что не всякая задача имеет аналитическое решение. Кроме того, достаточно часто аналитическое решение поставленной задачи очень сложно получить. В этом случае задачи приходится решать с помощью вычислительных алгоритмов и численных методов.

В разработке численных методов принимали участие такие известные ученые как Эйлер, Лагранж, Ньютон, Чебышев, Лобачевский. Но особенно бурно методы вычислительной математики начали развиваться в связи с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ). Поэтому изучение вычислительных алгоритмов должно осуществляться с учетом специфики ЭВМ:

а) ограниченное быстродействие;

б) ограниченный размер разрядной сетки, используемой для хранения чисел;

в) ограниченный объем памяти.

Кроме того, к математической задаче должны быть предъявлены следующие требования:

а) устойчивость (малые изменения исходные данных должны приводить к малым изменениям результата);

б) корректность (задача называется корректной, если для любых значений исходных данных из некоторого заданного класса, ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным).

Отметим, что численные методы в некоторых случаях разработаны и для решения некорректных задач. Здесь существенный вклад внес академик А.Н.Тихонов.

Основные требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам, заключаются в том, что алгоритм должен быть:

1) реализуемым, т.е. давать решение задачи за допустимое машинное время;

2) экономичным по времени счета, т.е. среди эквивалентных по точности алгоритмов он дает решение за минимальное время счета;

3) экономичным по объему используемой памяти ЭВМ;

4) сходящимся, т.е. при неограниченном увеличении числа итераций или числа решаемых уравнений решение должно стремиться к решению исходной задачи;

5) вычислительно устойчивым - это свойство характеризует скорость накопления суммарной погрешности за счет влияния погрешности округления, обусловленной приближенным представлением чисел в ЭВМ.

По курсу «Численные методы» имеется достаточно обширная литература [1-12], в которой отражен широкий круг задач вычислительной математики.

В настоящем учебном пособии рассматриваются следующие разделы:

- основы теория погрешности;

- аппроксимация функций;

- численное дифференцирование;

- численное интегрирование.

В рассматриваемых разделах учебного пособия приведены контрольные вопросы и задания, которые выполняются студентами в дисплейном классе с использованием пакетов прикладных программ Mathcad [13] и Matlab [14], а в приложении даны варианты исходных данных к заданиям.

Предполагается, что студенты, приступающие к изучению курса «Численные методы», знакомы с такими разделами высшей математики как дифференциальное и интегральное исчисление, линейная алгебра, а также владеют навыками работы с компьютером в объеме курса «Информатика».

Разделы 1, 3 и п.п.2.1-2.12, 2.15, 2.13.5, 4.8 написаны Смагиным В.И., раздел 4 и п.п. 2.13.1-2.13.4, 2.14 − Решетниковой Г.Н. Раздел 5 и п.п. 2.16, 2.17 написаны совместно.