2.13.3. Кубический сплайн

Сплайн состоит из многочленов вида:

, (2.89)

,

Для определения параметров кубического сплайна дефекта 1 потребуем дополнительно к (2.72), (2.73), (2.77) выполнение условия непрерывности второй производной:

. (2.90)

Первая и вторая производные отдельных многочленов сплайна соответственно равны:

(2.91)

. (2.92)

Тогда, обозначив , получим:

, (2.93)

, (2.94)

, (2.95)

. (2.96)

Последние два уравнения получены из (2.77) и (2.90).

Уравнения (2.93)-(2.96) составляют систему из уравнений для определения параметров сплайна. Для получения двух недостающих уравнений потребуем выполнения дополнительных условий на концах интервала :

, (2.97)

. (2.98)

Тогда из (2.97) следует

, (2.99)

а из (2.98) получим:

. (2.100)

Из уравнения (2.96) выразим

, (2.101)

и, подставляя его в (2.94), с учетом (2.93), получим

. (2.102)

Если выражения для и подставить в (2.95), то получим:

, (2.103)

где

. (2.104)

Уравнения (2.103) образуют систему из уравнения относительно неизвестных . Эта система является системой с трехдиагональной матрицей вида:

(2.105)

и вектором свободных членов , где   символ транспонирования.

Решение таких систем осуществляется методом прогонки, согласно которому решение представляют в виде:

, (2.106)

где – прогоночные коэффициенты. Чтобы получить выражения для этих коэффициентов, запишем формулы для определения и согласно (2.106) и, подставив их в (2.103), сравним полученное выражение с (2.106). При сравнении получим, что выражения для определения прогоночных коэффициентов будут иметь вид:

(2.107)

При этом, учитывая (2.99), полагают .

Таким образом, порядок вычисления коэффициентов кубического сплайна следующий: сначала определяют коэффициенты , , для чего необходимо, осуществляя прямой ход метода прогонки по формулам (2.107), найти значения , при , а затем, выполнив обратную прогонку, считая по формуле (2.106), вычисляются . При этом, согласно (2.99), Остальные коэффициенты сплайна определяются по следующим формулам: – (2.93), – (2.101), – (2.102), . Отметим, что преобладание в трехдиагональной матрице (2.105) диагональных элементов обеспечивает корректность и устойчивость метода прогонки.

Пример. 2.9. Для исходных данных, приведенных в примере 2.7, построим кубический сплайн. Сплайн строится в виде (2.89). Для интерполяции кубическим сплайном сначала согласно (2.107) вычисляются коэффициенты и , , причем ₁=₁=0, после чего обратным ходом по (2.106) рассчитываются коэффициенты . Остальные коэффициенты без особого труда можно вычислить по формулам (2.93 ), (2.101)-(2.102). Занесем полученные значения коэффициентов в таблицу и отобразим полученный кубический сплайн на одном графике (рис. 2.5) с исходной функцией:

Таблица 2.10.

i	1	2	3	4
ai	0,9108	0,7237	-0,2004	-0,5184
bi	0,146	-0,6661	-0,8988	0,7030
ci	0	-0,5414	0,3088	0,4921
di	-0,1203	0,2834	0,0306	-0,3281

Рис. 2.5. Интерполяция кубическим сплайном

Отметим что, описанный кубический сплайн в отличие от рассмотренного варианта параболического сплайна, обеспечивает устойчивость процесса интерполяции.