2.13. Сплайн-функции

Пусть на отрезке задано разбиение , в узлах которого известны значения достаточно гладкой функции . Узлы разбиения делят отрезок на отрезков

Сплайном называется составная функция , которая вместе с производными нескольких порядков непрерывна на всем отрезке , а на каждом частичном отрезке в отдельности является составляющей функцией:

.

Рассмотрим частный случай, когда функции являются алгебраическими многочленами вида:

где – коэффициенты, определяемые для каждого частичного отрезка.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочлена называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на производной – дефектом сплайна.

Среди существующих сплайнов наиболее широкое распространение получили сплайны следующих типов: линейные, параболические, кубические, В-сплайны, эрмитовы сплайны, сглаживающие сплайны.

2.13.1. Линейный сплайн

Сплайн состоит из линейных многочленов вида:

. (2.71)

Параметры сплайна , определим из условия непрерывности на и требования совпадения значений сплайна с функцией в узловых точках:

, (2.72)

. (2.73)

Обозначим . Тогда для каждого из многочленов можно записать

,

,

и для определения коэффициентов линейного сплайна (2.71) получим уравнения:

, (2.74)

(2.75)

Пример 2.7. Исходные данные приведены в таблице

Таблица 2.7.

	1	2,5	3,5	5,5	6
	0,9108	0,7237	-0,2004	-0,5184	-0,0848

Линейный сплайн строится в виде (2.71). По формулам (2.74) и (2.75) определяем коэффициенты линейных многочленов, приведенных в таблице :

Таблица 2.8.

i	1	2	3	4
ai	0.9108	0.7237	-0.2004	-0.5184
bi	-0.1247	-0.9241	-0.159	0.8671

На рис. 2.3 приведены исходные данные в виде точек, линейный сплайн (кусочно-линейная аппроксимация), а также для сравнения график исходной функции .

Рис. 2.3. Интерполяция линейным сплайном

2.13.2. Параболический сплайн

Сплайн состоит из парабол, многочлены имеют вид:

(2.76)

Для определения коэффициентов сплайна дополнительно к условиям (2.48), (2.49) потребуем непрерывности первой производной сплайна на интервале , то есть:

. (2.77)

Обозначив , и, учитывая, что

, (2.78)

получим:

, (2.79)

, (2.80)

. (2.81)

Тогда коэффициенты определятся согласно (2.79), а (2.80) можно записать в виде:

. (2.82)

Если записать выражения для и в виде (2.82) и подставить их в (2.81), то в результате получим

, (2.83)

где

. (2.84)

Таким образом, уравнения (2.79), (2.82) и (2.83) образуют систему из уравнений для определения коэффициентов сплайна. Недостающее уравнение получается из дополнительного условия, которое накладывается на значение производной сплайна на правом конце интервала , то есть:

(2.85)

или

. (2.86)

Если подставить в (2.86) выражение для из (2.82), то формулу (2.86) можно переписать в виде:

,

где

.

Тогда

(2.87)

и

. (2.88)

Таким образом, параметры параболического сплайна вычисляются в следующем порядке: сначала в обратном порядке вычисляются коэффициенты по (2.87), (2.88), затем по (2.82) и , по (2.79).

Рассмотренный сплайн второго порядка имеет дефект 1. Этот сплайн может привести к численно неустойчивому процессу сплайн-интерполяции, что приведет к низкому качеству аппроксимации. Однако этот недостаток параболического сплайна с помощью достаточно сложной модификации можно устранить.

Пример 2.8. Для исходных данных, приведенных в примере 2.7, построим параболический сплайн. Параболический сплайн строится в виде (2.76). Коэффициенты параболических многочленов определяются следующим образом: сначала по (2.87) находим коэффициент , затем по (2.88) вычисляются коэффициенты . Далее, пользуясь формулой (2.82) определяем коэффициенты , после чего высчитываем по (2.79) . Для нашего примера получаем следующие значения коэффициентов:

Таблица 2.9.

i	1	2	3	4
ai	0,9108	0,7237	-0,2004	-0,5184
bi	-0,4533	0,2039	-2,0521	1,7341
ci	0,219	-1,128	0,9466	-1,7341

На рис. 2.4 приведены исходные данные в виде точек, и график параболического сплайна, а также для сравнения график исходной функции f(x).

Рис. 2.4. Интерполяция параболическим сплайном