2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности

Если задано аналитическое выражение функции , которая аппроксимируется с помощью интерполяционного многочлена, то оценку погрешности метода можно получить по соответствующему остаточному члену. Например, учитывая выражение остаточного члена (2.53), погрешность метода для 1-ой формулы Ньютона имеет вид:

(2.68)

где . Если функция неизвестна, то для оценки величины можно воспользоваться формулой

(2.69)

которая следует из второго свойства конечных разностей (2.50). Иногда в качестве грубой оценки погрешности метода используют модуль первого не равного нулю отбрасываемого слагаемого в интерполяционной формуле. Если табличные значения функции заданы с одинаковой погрешностью , то неустранимая погрешность для 1-ой формулы Ньютона равна

. (2.70)

Слагаемых в формуле (2.70) должно быть столько же, сколько в самой интерполяционной формуле.

Аналогично определяются погрешности и для 2-ой формулы Ньютона, формул Гаусса, Стирлинга и Бесселя.

Пример. 2.11. Пусть дана таблица значений функции при равноотстоящих узлах

Таблица 2.5.

	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	1,1235	0,4325	0,5342	0,5441	0,2462	0,3345

Требуется вычислить значение функции, заданной таблично с шагом , в точке . Необходимо также оценить погрешность метода, неустранимую погрешность, полную погрешность, считая, что табличные значения функции заданы с верными знаками. Требуется также записать результат аппроксимации с верными знаками (в узком смысле).

Построим сначала таблицу конечных разностей

Таблица 2.6.

-0,6910	0,7927	-0,8845	0,6685	0,2415
0,1017	-0,0918	-0,2160	0,9100
0,0099	-0,3078	0,6940
-0,2979	0,3862
0,0883

Так как точка находится вблизи средины таблицы, воспользуемся формулами для аппроксимации в средине таблицы. Ближайшим к точке является узел при . Вычислим значение переменной . В силу того, что , выбираем для аппроксимации формулу Стирлинга 3-ей степени:

.

Остаточный член определится как полусумма соответствующих остаточных членов 1-ой и 2-ой формул Гаусса:

.

Тогда погрешность метода оценивается по формуле

,

где

.

Вычислим неустранимую погрешность, обусловленную неточностью исходных данных. В нашем случае, погрешность табличных значений функции будет равна половине последнего правильного разряда (см. п. 1.3). По аналогии с формулой (2.70), для формулы Стирлинга определится по формуле

.

Подставив значения, получим следующие результаты:

,

,

,

,

.

Тогда результат, записанный с верными десятичными разрядами, будет следующим: .